The Concept of the Ruliad
すべてのもののエンタングル極限
私はこれを「ルリアード」と呼んでいる。これは、計算可能なすべてのもののもつれた限界であり、あらゆる計算規則にあらゆる方法で従った結果だと考えてほしい。物理学プロジェクトで生まれた、もうひとつの驚くべき構成である。そして、このことは、科学の世界だけでなく、それ以外の世界でも、非常に深い意味を持つと思う。
ルリアードは、多くの意味で、奇妙で深遠な抽象的なものである。しかし、それは非常に普遍的なものであり、あらゆる抽象化・一般化の究極の限界のようなものである。そして、ルリアードは、あらゆる形式の可能性だけでなく、私たちの物理的な宇宙のすべてを包含している。私たちが経験するすべてのことは、私たちの特定の宇宙の知覚と解釈の仕方に対応するルリアードの一部をサンプリングしていると考えることができる。
私たちはルリアードについて、その技術的な詳細に関与することなく、多くのことを語ることができるようになるだろう。(最初に言っておくが、私たちはまだ技術的な詳細の解明と、それに伴う難しい数学と形式主義の設定のごく初期段階に過ぎない)。しかし、ここでは、ルリアードとは何かという、少し専門的な議論から始めよう。
私たちの物理学プロジェクトで言うところの「究極の限界」は、あらゆる支配的な多方向システムである。そして、可能な限りの計算ルールを徐々に適用していくことで、絡み合った結果をトレースするものである。
ここでは、文字列置換ルール{A → AB, BB → A}に基づく通常のマルチウェイシステムの例を示す（それぞれ青っぽいエッジと赤っぽいエッジで示されている）。
各ステップにおいて、ルールは各状態に対して可能な限りの方法で適用される。多くの場合、これによって複数の新しい状態が生成され、グラフが分岐することになる。しかし、重要なのは、複数の状態が同じ状態に変換される「マージ」も起こりうるということである。
ルーラル・マルチウェイ・システムの考え方は、特定のルールをあらゆる可能な方法で適用するだけではなく、ある形式の可能なルールをすべて適用することである。例えば、「1→2,2→1 A、Bの文字列のルール」を考えた場合、考えられるルールは
となり、出来上がった多方向グラフは次のようになる（ここで、可能なすべてのルールに対応するエッジが存在することを示すために、紫色を使用している）。
もう少し続けて、別のレイアウトで、こうなる。
これはもう、ちょっと複雑に見えるかもしれない。しかし、ルリアードはある意味、限りなく複雑なものなのである。そのコンセプトは、ある形のすべてのルールだけでなく、可能なすべてのルールを使用することである。そして、そのルールをあらゆる可能な初期条件に適用する。そして、そのルールを無限のステップ数で実行する。
上の写真は、ルリアードの粗い有限の近似と考えることができる。完全なルリアードは、すべての可能なルール、すべての可能な初期条件、すべての可能なステップの無限大の限界を取ることになる。言うまでもなく、これは複雑なことであり、その方法については、まだ多くの微妙な問題がある。
おそらく、最も明らかに難しい問題は、「すべての可能なルール」をどのように考えうるか、ということだろう。しかし、ここでは「計算等価性原理」を用いて、どのような「基礎」を用いても、最終的に出てくるものは事実上等価であることを教えてくれる。上では、文字列の置換システムを使った。しかし、ここでは、例えば、2状態2色のチューリングマシンで作られたルーラルのマルチウェイシステムを紹介する。
また、物理学プロジェクトで使用されたハイパーグラフの書き換えから作られた、署名のあるルールを全て使用した、ルール型マルチウェイシステムを紹介する。
別の例として、ルールが可能な各整数を乗算する、数字に基づくマルチウェイシステムを考えてみよう。
ここでは、1から始めて（値が100を超えるたびにグラフが切り捨てられる）どうなるかを説明する。
このような簡単な設定でも、結果は意外と複雑である（ただし、この特殊なケースでは、この作品の最後にある付録で説明するように、かなりの解析を施すことが可能である）。
多方向グラフの始まりは、1から連続する各整数に接続するというシンプルなものである。しかし、その後、事態はより複雑になっていく。何が起こっているのかを知るために、グラフの断片を見てみよう。
ある意味、グラフのすべてのパスが分離していれば、すべてがシンプルになる。
しかし、マルチウェイシステムの基本的な考え方は、等価な状態をマージすることなので、ここでは「6を得るための2つの方法」（つまり、1×2×3と1×3×2）を組み合わせて、マルチウェイグラフに現れるのは、次のようになる。
整数の場合、等価性の概念は数値の等価性であることが明らかだ。超グラフの場合は、同型性である。しかし、重要なのは、同値であることがマルチウェイグラフを非自明なものにしているという点である。同値性とは、パスを絡ませることだと考えることができる。等価性がなければ、多方向システムの異なるパス（異なる可能性のある歴史に対応する）は、すべて別々になってしまうだろう。しかし、等価性はそれらを絡め取る。
完全なルリアードは、事実上、すべての可能な計算の表現である。そして、このルリアードを構造化するのは、異なる計算によって生成された状態の間に存在する等価性である。いわば、計算の進歩による「前進」の効果と、異なる計算を絡め取る同値による「後退」の効果の2つの力が働いているのである。(数学的には、ルリアード構造をフィブレーションとフォリエーションで分解したようなものだと考えることができる）。
ルリアードを体感する
物理学の基礎理論の発見について考えているとき、いつも気になることがあった。仮に、私たちの宇宙のすべてを記述する法則を見出すことに成功したとする。すると、明らかに次のような疑問が湧いてくる。「なぜ、この法則で、他の法則ではないのか」では、実際に宇宙があらゆる可能なルールを実行しているとしたらどうだろう？そうするとどうだろう？それは、ある意味、宇宙の「全貌」がルリアードに過ぎないということである。
しかし、ルリアードには計算可能なものがすべて含まれている。では、なぜ私たちは、宇宙には特定の法則があり、その中で明確なことが起きているという認識を持つのだろうか？
それはすべて、私たちがルリアードの中に組み込まれた、境界のある観察者であるという事実と関係している。私たちはルリアードの全貌を見ることはできない。私たちはルリアードの小さな部分をサンプリングし、私たち特有の知覚と分析の方法に従ってそれらを解析しているだけだ。そして重要なのは、私たちのような首尾一貫した観察者にとっては、ルリアードの中に必然的に見られるある種の強固な特徴がある、ということである。その特徴とは、物理学の基本法則、特に一般相対性理論と量子力学であることが判明した。
私たちとは全く異なる観察者（例えば、ある種の異星人）が、ルリアードの異なる側面をサンプリングし、異なる法則を推論することは想像がつく。しかし、私たちの物理学プロジェクトの驚くべき発見の一つは、私たちのような極めて基本的な特徴を持つ観測者であっても、私たちが知っている物理法則と正確に一致する物理法則を経験するということである。
同じような現象が起こっていることを説明するために、アナロジー（実は最終的には同じ現象の結果なのだが）が役に立つかもしれない。気体中の分子を考えてみよう。分子は、それぞれの特性に応じた複雑なパターンで飛び跳ねている。しかし、私たちのような観察者は、このパターン全体を追跡することはできない。しかし、私たちのような観察者は、このパターン全体を追跡するのではなく、ある「粗い粒度」の特徴だけを観察するのである。そして、その特徴は、分子の詳細な性質とはほとんど無関係であり、熱力学第二法則のような標準的な物理法則にしっかりと対応していることがポイントである。しかし、異なる種類の観測者が、異なる方法でシステムをサンプリングし、「解析」すれば、原理的には異なる物理法則に対応する、異なる特徴を特定することができる。
ルリアードの捉え方を考える上で、概念的に難しいのは、ルリアードが「自己観察」の物語であるということである。本来、ルリアードの定義からして、私たち自身がルリアードの一部なのである。私たちは決して「外からルリアード全体を見る」ことはできない。私たちは「内側から経験する」ことしかできないのである。
ある意味、ルリアードを構築する努力に似ている。最終的にルリアードは、無限のルール、無限の初期条件、そして無限の時間を含んでいる。しかし、ルリアードをバラバラに組み立てる方法は、その無限の限界をどのように受け止めるかについて、特定の選択をすることが効果的である。そしてそれは、ルリアードの中に組み込まれた存在として、ルリアードをどのようにサンプリングするかについて特定の選択をしなければならないという事実とよく似ている。
ルリアードの驚くべき点のひとつは、ある意味でユニークな最終的に必然的かつ必要な形式的対象であることである。ある特定の計算システムや数学的理論を構築する場合、選択しなければならないことがある。しかし、ルリアードには選択肢がないのである。なぜなら、すべてがそこにあるからだ。そしてある意味、ルリアードの構造のあらゆる側面は、形式的に必要なものに過ぎない。外部からの入力は必要なく、抽象的な事実のように、用語の意味の形式的な帰結に過ぎないのである。
しかし、ルリアードはユニークであるが、その記述はそうではない。ルリアードの構築には、チューリング・マシンやハイパーグラフ書き換えシステム、その他あらゆる種類の計算システムを使うことができる。いずれも最終的にはルリアードという同じ限定的な対象に行き着くが、それぞれがルリアードを記述するための異なる座標系を定義していると考えることができる。
ルリアードが非常に一般的であるため、それをどのように表現するかに大きな多様性があるのは当然である。そして、ある意味、それぞれの可能な説明は、ルリアードを体験する可能な方法のようなものである。一般相対性理論における時空の状況（深く関連している）になぞらえれば、ルリアードを体験するための参照枠はたくさんあるが、その下にあるのはいつも同じルリアードである、と言えるかもしれない。
「外から見たルリアード」は、私たちのような観測者が「内部」で経験するものとは全く異なって見える可能性があることを理解することが重要である。例として、文字列の置換システムから作られた、ルリアードの簡単な有限近似を考えてみよう。上で説明したように、私たちは常に特定の初期条件から出発している。しかし、完全なルリアードは、すべての可能な初期条件から出発することになる。(もちろん、「null」初期条件からスタートすると言って、null → everythingという形のルールを作ることもできる)。そこで今度は、ありとあらゆる文字列、例えば長さ4の文字列から出発することを考えてみよう。
あるレベルでは、これは単純な構造であり、ルリアードの有限近似の必然であるように、その推移的閉鎖は完全なグラフに過ぎない。
では、なぜルリアードがどこかつまらないということにならないのだろうか。この話の重要な部分は、私たちがこのように「ルリアードを外から見る」ことができないことである。私たちは常にルリアードの一部であり、何らかの手順でルリアードをサンプリングし、あるいはそれと同等に、何らかの手順でルリアードを構成しようと考えている。
アナロジーとして、実数を考えてみよう。すべての実数の連続体は、「外から見ると」いろいろな意味で単純な構成になっている。しかし、実際に実数を、例えば一桁ずつ、ある明確な手順に従って構成しようとすることを想像すると、まさにチューリングマシンがモデルとして発明されたものを扱っていることになり、計算の構造全体が関わってくる。(後述するように、「私たちのような観測者」についての考え方は、結局のところ「有界記述のチューリング機械」と大いに関係があるのである）。
ある意味、外側の「ホリスティック」なレベルでは、ルリアードはある種のシンプルな完成度をもっている。しかし、「ルリアードの中身」を見ようとすると、パラメトリック化、コーディネーション化しなければならず、必然的にその複雑な内部構造に触れることになるのである。
わたしたちのような観察者
ルリアードの中に組み込まれたエンティティがルリアードを「体験」する方法は、実にさまざまに想像できる。ルリアードの中で起こっていることを、現実の認識や物理的な宇宙の仕組みと結びつけて考えるのである。
まず、ルリアード全体についてではなく、物理学プロジェクトにおける特定の基本的なルールに基づくモデルについて説明しよう。最も低いレベルでは、宇宙の「マシンコード」的な記述があり、それは、すべてが「空間の原子」のネットワークで構成され、絶えず更新され、計算の還元性に満ちた、支離滅裂ではあるが巨大な計算を実行していると考えることができる。しかし、驚くべきことに、この宇宙を観察する私たちは、その中からある一片を選び出すことができる。その一片は、首尾一貫した、計算で還元可能な特徴を示しており、例えば、私たちの知る物理法則を再現しているように見える。
この仕組みはどうなっているのだろうか？それは、観測者である私たちの特徴と、宇宙の基本的な仕組みの特徴と、そしてこれらの間の相互作用とが関係しているのである。
私たちが宇宙を「解析」する方法は、宇宙で行われているすべての計算と比較すると非常に小さな量の計算を行うことになる。私たちは、「その下で実際に起こっていること」のごく一部をサンプリングし、多くの詳細を集約して、宇宙の認識を表す要約を得るのである。
しかし、なぜその要約に一貫性があるのだろうか？基本的には、私たちのような観測者がどのように機能するかを定義することで、一貫性を持たせているからだ。宇宙のある部分は、他の部分から影響を受ける。しかし、宇宙の一部を「観測者」として考えるには、そこにある種の一貫性がなければならない。宇宙の振る舞いは、何らかの形で、ある種の一貫性と整合性を持つ「媒体」に刷り込まれなければならないのである。
空間の原子のレベルでは、すべてが常に変化している。しかし、ある種の永続性を持つ創発的な特徴を特定することはできる。そして、そのような特徴から、私たちがオブザーバーと呼ぶものが構築されるのである。計算不可能な振る舞いをする空間の原子だけを考えると、本当の意味での永続性が存在し、特定できることは、最初から明らかではない。しかし、私たちのモデルでは、例えば、永続的に同一性を保つ粒子に対応する、本質的にトポロジカルな特徴が存在することが期待される。
そして、もっともっと「凝集」して、人間の観察者のようなものを特定できるようになることが期待できる、つまり、宇宙からの現象が「体系的に刷り込まれる」ほどに、そのアイデンティティを持続的に維持できると考えることができる、ということである。
空間の原子のレベルでは、可能な更新の連続性を示す多方向のグラフが存在し、それぞれの経路は事実上、宇宙の異なる「時間の糸」に対応しているのである。しかし、宇宙を観測する私たちは、そのような分岐や合流する時間の糸を知覚していないことが、重要な事実である。その代わり、私たちは、すべてが時間的に連続した、1本の明確な経験の糸を持っていると想像している。
このような時間の連続性が「人間のような意識」の特徴であることは、別のところで論じたとおりである。そして、その結果、私たちが宇宙に対して持つ特定の認識は、私たちが知っている物理法則に対応する物理法則が存在するものでなければならないということがわかったのである。
ところで、時間を連続させれば、一貫した宇宙観が形成できるかというと、そうではない。しかし、因果的不変性という現象は、ルリアードの基本構造によって最終的に保証されているように思われるが、それは、ある種の一般化された相対論的不変性を期待することができ、最終的には必然的に一貫性をもたらすということを意味している。
時間的な連続性というのは、私たちの空間の原子が絶えず変化しているにもかかわらず、私たちが時間を通じて一貫した存在であるとみなすことができるという考えと密接に関係している。そして、空間にも同様の現象がある。最初は、「根本的に変化することなく」空間内を移動できる「純粋運動」が存在することは明らかではない。しかし、私たちが異なる場所にいるとき、「異なる空間の原子でできている」にもかかわらず、ある意味で「同じアイデンティティ」を維持していると想像できる。
空間の個々の原子のレベルでは、空間に関する首尾一貫した概念は存在さない。そして、私たちがそのような概念を形成することは、私たちの詳細と密接な関係があるようだ。最も重要なのは、私たちが宇宙の中である意味「中間の大きさ」であるということである。私たちは、空間の原子間の有効距離（
m）に比べれば大きいが、宇宙全体の大きさに比べれば小さいのである(
m).そしてその結果、私たちは空間の多くの原子の影響を集約する傾向があるが、それでも宇宙のさまざまな場所で異なる空間の特徴（たとえば、異なる重力場）を知覚することができる。
私たちが「自然に空間の概念を形成する」という事実は、光の速度が私たちにとって「速く感じられる」という、もうひとつのスケールの問題に依存しているようだ。私たちの脳は、目に見えるものを処理するのに数ミリ秒かかるかもしれない。しかし、これは、私たちの典型的な局所環境にある物体から私たちに光が届くまでの時間に比べれば、非常に長いということなのである。その結果、私たちは、空間上に配置された世界の構成が瞬間的に存在し、それが時間的に「別々に」変化していると認識しがちである。しかし、例えば、私たちの脳がもっと速く動いたり、私たちが今よりずっと大きかったりしたら、光の速度は私たちにとって「遅く」感じられ、「空間の瞬間的な状態」という概念を形成することはないだろう。
では、量子力学はどうなのだろうか？量子力学の最も基本的な特徴は、宇宙の物事が1つだけでなく、多くの可能な歴史の道筋をたどることを示唆していることで、その道筋は私たちがある種の測定を行うことでしか得られない。そして、私たちの物理学プロジェクトでは、これは自然なことであり、実際、必然的なことなのである。宇宙のどのような特定の構成であっても、起こりうる更新はたくさんあるのである。そして、その可能性をすべて洗い出すと、歴史のさまざまな糸が絶えず枝分かれし、合流する「マルチウェイシステム」ができあがる。
では、私たちのような観測者は、この中でどのように位置づけられるのだろうか？宇宙の一部である私たちは、他の宇宙と同じように、必然的に分岐と合体を繰り返している。なので、私たちの経験を理解するためには、「分岐する脳」が「分岐する宇宙」をどのように認識するのかを問う必要がある。その話は、先ほどの空間と時間の体験とよく似ている。
つまり、「外から見たとき」、私たちの脳がさまざまな歴史の道筋をたどっていたとしても、「内から見たとき」、すべてが1本の歴史の糸に集約されていると考えることができる可能性があるのである。しかし、これは最終的に矛盾のないことなのだろうか？これも因果的不変性によって、そうなることが暗示されている。量子力学的な効果で、歴史の枝が複数あることがわかる場合もあるが、最終的には「何が起こったか」という「客観的な現実」を想像することで整合性が取れるだろう。
物理学プロジェクトでは、空間の原子の間に抽象的な関係があり、最終的にその関係のパターンが物理的な空間の構造を定義すると想像している。しかし、マルチウェイグラフにおける歴史の異なる枝はどうだろう？これらは関連していると考えることができるのだろうか？答えは「イエス」である。例えば、ある時点で、2つの枝にある状態は、マルチウェイグラフの直系の祖先を共有していれば、「隣接している」と言うことができる。そして、このようなつながりをたどっていくと、「枝葉の空間」という概念が生まれる。
枝葉の空間は、異なる歴史の枝葉の間のもつれのパターンによって定義されていると考えることができる。また、物理学プロジェクトでは、量子力学の基本法則は、時空の基本法則を枝葉の空間に直接翻訳したものに過ぎないことが判明した。そして、光速が物理空間で効果が伝播する最大速度を支配しているように、私たちのモデルでも同様に、枝葉の空間で効果が伝播する「最大もつれ速度」が存在するのである。
では、枝状空間の観測者である私たちは、どのような存在なのだろうか。物理的な空間と同じように、私たちも枝葉の空間ではある大きさを持っていると考えることができる。その大きさをどのように測るかについてはまだよくわかっていないが、私たちが関わる量子自由度の実効数に関係していることは間違いないだろう。
私たちが日常的に経験する気体のようなものでは、私たちは個々の分子と比較して十分に大きいので、通常は気体をある種の連続した流体として認識し、それが分子からできていることさえわからないのである。物理空間でも同じようなことが言えると思うが、空間の原子に比べて私たちはさらにずっと大きいので、その存在をどうやって検出するかは大きな課題である。では、分岐空間ではどうだろう？システムの基本的なルールが適用されると、歴史のさまざまな分岐が、事実上、複雑で計算不可能な方法で分岐空間の中を「動き回る」ことになる。そして、気体中の分子を観察するときと同じように、ほとんどの場合、流体力学に類似した全体的な集約効果を観察するだけで、特別な状況においてのみ、複数の独立した歴史の糸の存在を明らかにする「量子効果」に気づくことができる。
ルーラルスペースに住む
「私たちのような観測者」が、「物理学プロジェクト」で生じるタイプの物理学モデルをどのように認識するかについては、これまで述べていた。しかし、私たちはルリアード全体をどのように認識するのだろうか？それは、枝分かれした空間についての話を一般化することから始まる。なぜなら、今、特定の規則に従って異なる更新に関連する異なる枝があるだけでなく、異なる規則に従って更新に関連する異なる枝もあるからだ。
そして、通常の多方向システムをある時間にスライスすると、枝分かれした空間が瞬時に得られるのと同じように、今度は支配的な多方向システムをスライスすると、支配的な空間と呼べるものが瞬時に得られるのである。
このように、「純粋な枝葉の空間」と「定規の空間」は、どうしても深く関わってくるので、かなり複雑な設定になっている。しかし、第一近似として、支配空間はある程度分離しており、その中の異なる場所が異なるルールを適用した結果に対応するように配置されていると考えることができる。
そして、枝葉の空間で伝播する効果を考えることができるように、支配の空間でも伝播する効果を考えることができる。枝葉の空間では、光の円錐の類似物としてエンタングルメントコーンを、光速の類似物として最大エンタングルメント速度を語ることができる。ルリアル空間では、代わりに「エミュレーション・コーン」と「最大エミュレーション速度」について話すことができる。
大まかなルール空間では、各ポイントは実質的に特定のルールと関連付けられている。では、ある点から別の点へ「移動」するにはどうすればよいのだろうか。それは、あるルールの動作を別のルールでエミュレートすることである。しかし、なぜそんなことが可能なのだろうか？この原則は、事実上、ほとんどのルールはその計算能力において同等であり、特に普遍的な計算が可能であることを述べており、任意のルールは常に他のルールをエミュレートさせる「プログラムを実行」することができる。
プログラムは、あるルールから別のルールに変換するインタープリタまたはトランスレータと考えることができる。計算機等価の原則によれば、このようなトランスレータは基本的に常に存在するはずだ。しかし、そのトランスレータはどれくらいの速度で動作するのだろうか？事実上、それはルール空間における距離を測るものである。なぜなら、「ある翻訳をする」ためには、ルーラルのマルチウェイシステムのブランチは、あるルールから別のルールへと到達しなければならないからだ。しかし、彼らは最大エミュレーション速度でしかそれを行うことができない。
エミュレーションの最高速度は何を意味するのだろうか？事実上、宇宙の生の計算処理速度に相当する。計算を何らかの言語（例えばWolfram Language）で表現することができる。そうすると、処理速度は「Wolfram Language tokens processed per second」（「WLT/s」）という単位で表される。もちろん、この速度の値は、人間の時間の単位（例えば秒）と、宇宙で行われている計算処理に関連する「固有の時間の単位」を関連付ける方法に過ぎない。つまり、純粋に形式的な構成要素に対する秒の究極的な定義ということになる。
では、ルリアードの中に組み込まれた観測者である私たちと、どのような関係があるのだろうか？私たちが宇宙の他の部分と同じように、枝分かれと合流を繰り返していると想像するように、ルリアード空間でもこのようなことが起こるのである。つまり、宇宙の他の部分と同じように、私たちの脳は特定のルールに従っているのではなく、あらゆる可能なルールを表す分岐・合流の道筋に従っているのである。
しかし、「内部から」、私たちは、異なる枝で起こることを効果的に統合した、1本の糸のような経験を持っていると想像することができる。そして、もう一度、この方法が一貫しているかどうかを問うことができる。その答えは、「はい、そうです」というものである。これを保証するのは、因果的不変性の帰結である「支配的相対性」のようなものである。詳しくは後述するが、大まかには、因果的不変性（causal invariance）の結果である「定規相対性」である。しかし、大まかに言えば、因果的不変性は、発散し、やがて再び収束する歴史の道筋と関連していると考えることができる。しかし、ルリアードには、ありとあらゆるルールに対応するパスが含まれているので、分岐が起こったとしても「元に戻す」ために必要なものが含まれていることは基本的に避けられない。
では、これはどういうことなのだろうか。基本的には、宇宙がある意味で本質的に「ありとあらゆるルールに則っている」にもかかわらず（ルリアードのパスで表現されている）、宇宙を観察する私たちは、宇宙が特定のルールに則っているという「視点を持つ」ことができる、ということである。しかし、実際には、特定のルールというわけではない。というのも、私たちがある意味で物理的な、そしておそらくは枝葉の空間において「かなり大きい」のと同じように、私たちもまた、ルリアード空間において「かなり大きい」可能性があるからだ。
そして、ルール空間に拡張されるということは、基本的には、宇宙を記述するルールとして、1つだけでなく、さまざまな可能性があると考えるということである。どうしてこのようなことができるのだろうか？宇宙の観測者である私たちは、「宇宙の真のルール」が何だろうかを推論することができる。しかし、そのためには、物理的な実験を行い、帰納的な推論によって「宇宙のルールとは何か」を解明しなければならない。しかし、問題は、宇宙の中に組み込まれた存在である私たちができる実験には限りがあることで、「本当のルール」を正確に特定することはできず、常に不確実性が存在することである。
私たちが宇宙の観測者であることを考えると、ある意味「恣意的」な部分が多くある。例えば、私たちは太陽系など物理空間の特定の場所に存在している。おそらく、枝葉の空間にも存在するのだろうが、それをどう「名づけるか」はあまり明確ではない。さらに、私たちは支配空間にも存在している。
その位置は何によって決まるのだろうか？基本的には、私たちが観察者としてどのように行動するかによって決まる。私たちが持つ特定の感覚システムと、私たちの言語と文明の知識の歴史の中で開発された特定の記述手段によって決まる。原理的には、私たちの宇宙を別の方法で感知したり記述したりすることは可能である。しかし、その方法によって、私たちが置かれている支配空間の特定の場所が決まるのである。
しかし、このことはルリアードの観点からはどうなのだろうか。ルリアードとは、ありとあらゆるルールにありとあらゆる方法で従うことで形成される、唯一無二の限定的な構造である。しかし、私たちが「ルリアードを観察する」ということは、事実上、ルリアードの特定の側面にのみ「注意を払う」ことになる。その「注意」の一部は、「ルリアード内の位置」という観点から都合よく説明することができる。しかし、あるものは、ルリアードの同値類について考えることで、より自然に説明することができる。
ルリアードの中に存在する2つの状態があったとして、観察者としてそれらを区別して考えたいのか、それとも混同して「同じもの」と考えたいのかを問わねばならない。ルリアードの構築について議論したとき、私たちはすでにこの問題についての多くのバージョンを持っていた。実際、ルリアードの2つのパスが「合体する」と言うときはいつも、その結果を等価なものとして扱うと言っているに過ぎないのである。
「外から見て」、絶対に等価なものはないと想像することができる。2つの異なる方法で作成された2つのハイパーグラフ（したがって、おそらく異なるラベルの付いたノード）は、ある意味で「外から」異なるものである。しかし、「内側から見れば」、「同じ」と見なさざるを得ない。要するに、すべての効果が同じになるからだ。しかし、あるレベルでは、ラベルの異なるハイパーグラフの混同も、「観察者の行為」と考えることができる。「システムの内側から観察」した場合にのみ、そのように機能することがわかる。
しかし、観察者についての説明では、何が何と等価であると考えるべきかという問題であり、非常に同じ話である。時間を連続させるということは、「空間のすべて」（あるいは「枝状空間のすべて」、「支配空間」）を「等価」とみなすべきだということを、事実上、言っているのである。また、ルリアードの状態を基礎となるトークンから構築する際や、どのようなルールや初期条件を同じとみなすべきかを定義する際など、様々なところで等価性の微妙な問題が発生する。
ルリアードは、ある意味、最も複雑な構成物である。しかし、計算量に制限のある観測者がルリアードを知覚しようとするならば、「小さく切り詰める」方法を見つけなければならないのである。そのためには、同値クラスを定義し、そのクラス全体にのみ注意を払い、その中で起こっていることの詳細には目を向けないようにするのである。しかし、重要なのは、私たちは計算に制約のある観察者であり、自分の体験にある種の一貫性を想像しているため、どのような等価クラスを使うことができるかに強い制約があることである。
気体中の分子の話に戻ると、分子の位置は、単純で境界のある計算で定義された「バケット」の中で粗く見るだけで、細かい部分や計算の非簡約性は見ないという等価クラスを形成していると言える。そして、このような見方をしているからこそ、システムが熱力学第二法則に従う、流体挙動を示すなどと結論づけられるのである。
これは、ルリアードや物理法則と非常に同じ話なのである。ルリアードを観察する方法、つまり「解析」を制限すれば、私たちが見る有効な法則がある特徴を持つようになるのは必然である。完全なルリアードはある意味で非常に荒々しいものであるが、ある特徴を持った観測者である私たちは、そのルリアードをはるかに縮小したものを見ることができる。
当初、ルリアードは基本的に可能な宇宙の辞書のようなもので、可能な宇宙がそれぞれ異なる法則を持つ「すべての可能な宇宙の宇宙」であると想像していたかもしれない。しかし、ルリアードはある意味でもっと複雑な物体なのである。ルリアードは、別々の宇宙が存在する可能性の「辞書」ではなく、すべての可能な宇宙を絡ませるものなのである。計算等価性原理は、この絡み合った構造にある種の均質性を暗示している。しかし、重要なのは、私たちはこの構造を「外から見る」のではなく、構造の中に組み込まれた観測者であるということである。そして、何を観察するかは、私たちの特性によって決まる。そして、私たちの意識と感覚装置の非常に基本的な特徴でさえ、ある意味で必然的に物理学の既知の法則につながることが判明した。
これまで、私たちは主に物理学や物理的な宇宙の基本的な構造という観点からルリアードを語っていた。しかし、ルリアードは、実はそれよりももっと一般的なものなのである。なぜなら、究極的には、可能な限りの計算規則に従うという抽象的な概念から生み出されたものだからだ。そして、これらのルールは、私たちの宇宙で起こっていることを表していると解釈することもできる。しかし、このルールは、物理的に実現可能な他のシステムで起こっていることだと解釈することもできる。あるいは、純粋に形式的なもの、例えば数学的なものを表現していると解釈することもできる。
このような言い方をすると、ルリアードは私たちの宇宙などに対して「可能性のあるモデルと考えるべき」と思われるかもしれない。しかし、奇妙で驚くべき点は、それ以上であるということである。数あるモデルのうちの1つである可能性があるだけではないのである。むしろ、すべての可能なモデルが絡み合った、唯一無二の究極の表現なのである。これまで述べてきたように、ルリアードをどのように観察するかについては、多くの微妙な選択がある。しかし、究極のルリアードそのものは、それが何だろうかについて選択の余地のない、ユニークなものなのである。
別のところで詳しく説明したように、ルリアードはある意味、すべての可能な必要な真理の表現であり、その構造は形式化という概念から必然的に生じる形式的対象である。では、ルリアードは究極のレベルで私たちの物理的な宇宙を表現しているという考えとどのような関係があるのだろうか。それは、私たちの宇宙の究極の構造は、形式的必然であるということである。つまり、宇宙が存在し、究極のルリアード構造を持つことは、形式的必然なのである。私たちが宇宙をある方法で認識しているのは、例えば標準的な物理法則があるからで、それは私たちのような観測者が宇宙をどのように認識しているかの結果であり、私たちが定規空間のどこにいるかなどに依存する。
しかし、物理学を超えて、ルリアードは他に何を表現するのだろうか？ルリアードは、マルチコンピューティングの究極の例であり、私が理論科学の第4の主要なパラダイムと位置づけているものである。マルチコンピューティングでは、しばしば、特定の基本的なルールを持つ多方向システムに関心が向けられる。そして、このレベルではすでに、ルリアードに関して説明した装置の多くも適用され、ある意味で「トリクルダウン」して、さまざまな普遍的な結果を得ることができる。
しかし、マルチコンピューティング（物理学以外）には、可能な限りのルールを適用するという完全な概念が関係するケースも確実に存在する。メタ数学、経済学、言語学、進化生物学などの世界的な構造がその例として挙げられるが、いずれの場合も、その中核には独自の構造を持つルリアードがあると予想される。もちろん、観測されるものが常に同じでなければならないということではない。観測されるものは、観測者としての私たちの特性に依存するし、例えばメタ数学における「観測者としての特性」は、経済学や進化生物学、あるいは物理学のそれとは確実に異なるものである。
確かに、私たちが有効に使っている「感覚器」は、ケースによって異なる。しかし、人間にはある種の類似した特徴があり、それは今でも当てはまるようだ。どんな領域であれ、私たちは常に計算量に縛られたオブザーバーとして行動している。そして、私たちは常にある種の一貫性を持っており、時間や空間を越えて一貫して「観察者」であることを維持しているようだ。そして、このような「人為的な」特徴だけで、観察される行動に非常にグローバルな意味をもたらすのに十分であると思われる。
数学からの視点
ルリアードを数学的にどう考えればいいのか？多くの点で、ルリアードは数学そのものというよりも、メタ数学の対象である。というのも、ありとあらゆるルールの効果について語ることで、ある意味、個々の数学的理論を超越し、ありとあらゆる理論のメタ理論を記述することになるからだ。
ある数学の公理系があれば、多動力系との対応を見るのは簡単だ。いろいろな設定方法があるが、ひとつは、多動力システムの状態を公理系に使われる言語の表現と考え、多動力システムのルールを、公理系の公理を実現するこれらの表現に対する変換の適用と考えることである。
例えば、（アーベル半群）公理で
式から生成されるマルチウェイシステムを紹介する。
は、公理で定義された（双方向の）変換を各式に可能な限り適用することで
しかし、今このグラフから「定理」を読み切ることができる。
この定理の証明
単なるマルチウェイグラフのパスである。
より直接的ではないが、それでも完全に有効な証明は、13ステップのパスに対応するものである。
少し専門的な話になるが、公理的数学体系と多元的システムの対応関係を設定する別の方法があることは、おそらく言及する価値があるだろう。そのひとつは、多項式システムの状態を式でないとする方法である（たとえば
)が、命題全体(例えば
).そして、公理は状態として現れ、多方向システムのルールは「推論のルール」または「含意のルール」であり、例えば、命題のペアが他の命題を「含意」（または「暗示」）する方法を定義する。(そして、このためには、1状態→多数状態だけでなく、例えば2状態→1状態のような、一般化された多方向システムが必要である)。典型的な自動定理証明器（FindEquationalProofなど）はこのような設定で動作し、初期命題や公理から「明らかに真である」命題に対応する最終状態へ導く経路を見つけようとする。
.
しかし、詳細な設定がどうであれ、基本的なイメージは、公理的な数学システムは、関連する多方向グラフを持ち、その中でパスは証明に対応するというものである。多方向システムのルールを考えると、ある特定の結果の証明に対応するパスが（存在するとしても）有界長であることを保証する方法は一般に存在せず、決定不能の可能性がある。しかし、パスが存在する場合でも、それを見つけるためには、計算量が抑えきれないほど大きくなる可能性がある。しかし、そのようなパスを見つけることが、自動定理証明の仕事である。例えば、((b–c) –a) – (b– ((b–c) –a) は、2000年に私が発見したように、私たちは知っている。a) – b)) =aはブール代数の最小公理系であり、FindEquationalProofはそれを証明するパスを見つけるからだ。
しかし、この道筋とそれに対応する証明は、非常に「非人間的」な構成である（例えば、この21年間、「人間に理解できる物語」を見つけることは、基本的に進展していない）。そして、ここで物理学の状況を類推することができる。マルチウェイグラフ（あるいは証明）における個々のルール適用は、空間の原子に適用される個々の更新イベントのようなもので、あらゆる種類の複雑さと計算の非簡約性を示す。しかし、物理学では、人間の観察者はより高いレベルで仕事をする。そして、同じことが数学でも言えるのではないだろうか。
人間の「数学的観察者」（すなわち純粋数学者）は、多方向グラフの細部まで見るのではなく、事実上、グラフの異なる部分を混ぜ合わせるあらゆる種類の等価性を定義している。多方向グラフの個々の更新が分子動力学のようなものだとすると、人間の純粋数学は、特定の低レベルの公理的表現の「マシンコード」ではなく、「幅広い数学的構成」に集中し、より「流体力学レベル」で動作するようだ。(もちろん、例えば決定不能性に関連するような、「分子動力学」が効果的に「突破」するような状況もある)
私たちのような物理的観測者が、物理的宇宙（とルリアード）の低レベルの構造をどのように「解析」しているのか、その概要を説明した（他の場所でも長々と議論している）。数学的観測者はどのように解析するのだろうか？その大部分は、等価性の識別に関係している。そして、重要な考え方は、同等と考えられるものは「同じ」であると仮定し、したがって「数学的な目的のために混同する」ことである。
このようなことの最も初歩的な例として、（ユークリッドにすでに存在する）以下のような記述がある。
と
なら
.集合論の拡張性公理は、より洗練された例だ。そして、ホモトピー型理論の一価性の公理は、おそらく現在の最も洗練されたバージョンである。
これの非常に運用しやすいバージョンが、自動定理証明に登場するんだ。次のようなことを証明したとする。
と
.すると、（仮定した等号の性質により）次のようになる。
.この結果を利用する1つの方法として、以下のノードを統合することができる。
と
.しかし、私たちができる。「もっと大きな」ことは、「完了」を追加することである。
を、マルチウェイシステムを生成するための一般的なルールとする。
例えば、文字列置換多方向システムA↔ABを考えてみよう。
しかしここで、ABA↔ABBAとABA↔ABABの両方があることに注目してほしい。そこで、今度は「補完」のABBA↔ABABを追加する。これが出来上がった多面グラフである。
補完を加えることで、新しい「直接同値」がたくさん生まれた。状態間の等価性だけでなく、パス間の等価性、つまり実質的な証明間の等価性も定義しているのである。(別の言い方をすれば、証明の間のホモトピックな等価性を実装しているのである。ちなみに、人間の数学の重要な特徴として、進歩は通常証明された定理で測られ、同じ定理の異なる証明は、数学の進歩という点では暗黙のうちに同等とみなされる)。
カテゴリー理論の解釈では、元のマルチウェイグラフの状態間の変換は、普通のモルヒズム（1-morphisms）のようなものである。しかし、「証明パス」間で変換を行う場合、これは2-morphismsのようなものである。そして、証明の間に変換を加えることができるように、証明-証明-証明の間にも変換を加えることができるようになる。その結果、どんどん上位のカテゴリーを構築することができ、最終的には∞カテゴリーに行き着く。
しかし、これでルリアードとの関連性が見えていた。ルリアードは、ある意味で、可能なルールをどんどん追加していくという限界に挑戦した結果である。上では、例えば可能な文字列や可能な整数倍を列挙することで、元の基本的なルールの観点から非常に明示的にこれを実行した。
しかし、連続した完成は、非常に似たことをしていると見ることができる。そう、ルールは異なる順序で列挙される。しかし、最終的には無限に異なるルールが使用されることになるのである。
もちろん、ここには多くの数学的な詳細が欠けている。しかし、大まかに言えば、ルリアードへのアプローチは、ある種の高次カテゴリーの極限と考えることができるようだ。しかし、この極限は（純粋数学の上流ではあるが）研究されているもので、∞-グルーポイドと呼ばれる物体である。(すべての規則を含むと、どうしても「どっちつかず」になってしまうので、groupoidなのである）。では、ルリアードは∞-groupoid「だけ」なのだろうか？そうとも言えない。なぜなら、ルリアードには、補完によって追加されたもの以外にも、より多くのルールと初期条件が存在するからだ。そして最終的にルリアードは、実は∞グルポイドの∞カテゴリー、いわゆる(∞,1)カテゴリーのようなものである。
しかし、ルリアードが∞-グルーポイドで構成されていると考えることができるということは、∞-グルーポイドに関する数学的な考え方をルリアードに適用することができるということである。
最も重要なのはGrothendieckの仮説で、「∞-groupoidは必然的に位相的、（いくつかの条件を満たせば）究極的に幾何学的な構造を持つ」と主張するものである。つまり、「純粋論理」（あるいは純粋形式公理構造）から∞-groupoidを構築したと想像しても、得られる限定的な対象は必然的にある種の幾何学的、あるいは「空間」構造を示すという主張である。
ルリアードやその有限の明示的な例から見ると、これは驚くべきことではないかもしれない。実際、物理学プロジェクトでは、大規模なハイパーグラフから空間が出現するというコンセプトが密接に関連している。しかし、グロテンディークの仮説は、基本的に、ルリアードには「必然的な幾何学」があるという一般的な主張であり、物理学プロジェクトにおける空間の出現などは、ルリアードに関する結果からの「トリクルダウン」のようなものとみなすことができる。(そして、一般的に、幾何学的構造の大きな「応用」として、「純粋な運動」の可能性がある）。
ルリアードと数学について、これらのことは何を意味するのだろうか？ある意味でルリアードは、ありとあらゆる数学、つまりありとあらゆる公理系に対応する、ありとあらゆるルールの適用を表している。そして、この「究極のメタ数学」から、人間の「数学的観察者」は、自分が興味あると思う純粋数学に対応する断片をサンプリングしているのである。
おそらく、自動化された定理証明者（あるいは証明補助者）が使うような、特定の公理系と一致することになるだろう。しかし、それよりももっと「ずさん」なことが起こるかもしれない。人間の数学的観察者は、事実上、支配空間に拡張され、「分子動力学レベル」ではないにしても、「流体力学レベル」の結論を出すことができるようになるのである。
しかし、重要な（ある意味非常に驚くべき）点は、ルリアードは物理学と数学の両方の基礎と見なすことができるという点である。ある意味で、物理学と数学は、その核心において同じものなのである。私たちが「観察」する方法が違うので、「違って見える」だけなのである。
数学への影響については、別の機会に詳しく説明するつもりである。しかし、物理学と数学の両方に共通の根底にある核、すなわちルリアードが存在することで、物理学から数学へ、あるいはその逆へと、強力な結果を取り入れることが直ちに可能になる、ということをここで述べておけば十分だろう。また、別の場所で行ったように、宇宙の存在と数学の基本的存在という（プラトン的な）概念との比較を始めることもできる。
計算理論からの視点
ルリアードは、あらゆる可能な計算をあらゆる可能な方法で行うことをカプセル化したものだと考えることができる。私たちが「一つの計算」と考えるものは、チューリングマシンのルールを繰り返し適用して、一連の計算ステップを「決定論的に」生成することからなるのかもしれない。
しかし、ルールが複数の状態を生成し、システムの進化全体を多方向グラフで表現できるような「多計算」システムを考えることもできる。
伝統的な計算理論では、このような規則を「非決定論的」と呼ぶが、これは複数の結果があり得るからだ。しかし、人は通常、ある計算から得られる最終的な答えが、ある特定の経路の結果として得られると想像している。(その代わり、絡み合った可能性のある歴史の完全な多方向グラフを考えるのである)。
ルリアードを構築することは、ある意味、マルチコンピューティングの極端なバージョンであり、複数の結果を持つ特定のルールだけでなく、すべての可能なルールを使用することになるのである。つまり、「最大限の非決定性」を用い、各ステップで独立に「好きなルールを選ぶ」ことで、それが生み出すさまざまな可能性を含むルリアード・マルチウェイ・システムをトレースするというコンセプトである。
上に例示したようなチューリングマシンでは、1ステップ後に得られるルリアル・マルチウェイグラフが
2ステップの後、結果はこうなる。
完全なルリアードは、このプロセスのある種の無限限界である。しかし、先ほどと同じように、この極限をどのように取るかには、多くの微妙な問題があるのである。しかし、計算複雑性理論の考え方を用いれば、少なくともいくつかのアプローチ方法を特徴付けることができる。進化のステップ数を増やすことは、1つの許容する時間の複雑さを増やすようなものである。また、「状態の大きさ」（例えば、ゼロでないチューリングマシンのテープの幅）を増やすことは、空間的な複雑さを増やすようなものである。また、ルールの複雑さ（それを指定するのに必要なビットの数で測定）を増やすことは、アルゴリズム的複雑さを増やすことと同じだ。ルリアードとは、これらすべての計算資源の測定値を無限大にすることで得られるものである。
そして、重要な主張は、この方法がどのようなものであっても、最終的に得られるルリアードの構成は、常に、少なくともある意味では同じであるということである。コーディネートする方法やサンプリングする方法はいろいろあるが、扱う対象は常に同じであるということである。その理由は、最終的には「計算機等価の原則」にある。なぜなら、ルリアードに対してどのような「計算パラメトリゼーション」や「計算記述言語」を使っても、ほとんど常に「計算上同等」と見なせるものが得られるということを暗示しているからだ。
これまで、チューリングマシンを使ってルリアードを構築することについて話していた。しかし、セル・オートマトンやレジスター・マシン、ラムダ計算のような他の計算モデルについてはどうだろうか。ある意味で、ある計算モデルから別の計算モデルへのインタプリタをセットアップするのに必要なのは「有限の翻訳コスト」だけだからだ。別の言い方をすれば、あるシステムに対するルールの適用を、他のシステムに対する有限のルールの適用によって常にエミュレートすることができる。
しかし、計算の普遍性だけでは、この変形によってもたらされる「極端な変形」がないとは言い切れないのである。しかし、「計算機等価の原則」が言うのは、ほとんどの場合、変形が極端である必要はないということである。そして、特に複数のルールが関わっている場合、ルリアードの最終的な構造が常に同じであることを保証する、ある種の「均一な同等性」に、ほとんどの場合、急速に収束することが期待できる。
ルリアードを構築するために使用される「計算基礎」に関係なく、ルリアードが同じであるだけでなく、ルリアード全体で一定の均一性があるというのである。ルリアードの領域」が異なれば、特定のルールやその適用パターンが異なるかもしれない。しかし、「計算等価の原則」は、ほとんどの場合、起こる計算が等価であることを意味し、少なくともある規模では、それに関連する構造も等価であることを意味する。
ルリアードが非常に多くの異なる計算を含んでいることを知れば、特に均一性や均質性を示すことはないだろうと想像するかもしれない。しかし、計算等価性原理は、それが必然的にそうであることを示唆しているように思われる。さらに、その構造にはある種の一貫性があるはずで、それを（グローテンディークの仮説に倣って）必然的に出現した幾何学として解釈することができる。
個々の計算は、ルリアードの「入力状態」から「出力状態」に向かうパスに相当する。通常の決定論的計算では、パスは各ステップで常に同じ規則を使うように制限されている。非決定論的な計算では、ステップごとに異なるルールが存在する可能性がある。しかし、P対NP問題のようなものは、基本的にルリアードの幾何学的な観点から定式化することができるようになった。
上の図と同じように、チューリングマシンによるルリアードの近似図を示すが、決定論的なチューリングマシンによる計算に対応する経路を赤でマークしている。
P vs. NP問題は、基本的に、決定論的な計算（ここでは赤で示されている）が最終的に「ルリアードを満たす」のか、それともルリアードの一部である一般の非決定論的な計算が常に「さらに届く」のか、ということを大まかに問う。繰り返すが、ここには複雑で微妙な問題がたくさんある。しかし、P対NP問題のようなものが、ルリアードの中でどのように展開されるかを見るのは興味深いことである。
物理学（および数学）では、私たち人間の観察者は、ルリアードを粗い粒度でサンプリングし、その特定の側面だけに「気づく」傾向がある。では、計算理論にはこのような類似点があるのだろうか。おそらく、「計算理論的観察者」のある種の特徴に関連しているのだろう。物理学と数学の両方ですでに見られるものと、むしろ似たような答えがありそうだ。
基本的なポイントは、計算理論では、個々の計算ではなく、計算のクラス（例えばPやNP）を研究する傾向があるということである。そして、その際、私たちはある意味で常に多くの異なる入力と出力を混同している。
もうひとつは、「プログラマー」の詳細な活動よりも、「エンドユーザーの体験」に重きを置く傾向があることである。つまり、そのために構築されたプログラムの詳細よりも、どのような計算資源を使って、どのような計算結果を得るかということに関心があるのである。言い換えれば、私たちは計算を関数の連続的な評価という観点から考える傾向があり、それを達成するためのさまざまな経路を混同しているのである。
これは、この計算機によるルリアードの見方で導き出される、一般相対性理論のような物理法則に類する「有効な法則」が存在することを意味していると思われる。では、他の例としてはどのようなものがあるのだろうか？
計算とは、これまで述べてきたように、ルリアードのパスに対応するものである。そして、ルリアードのパスが無限に続く可能性がある場合は、決定不能性の兆候である。つまり、ある計算が特定の結果に到達できるかどうかを判断する有限の方法が存在しない可能性がある。しかし、多くのパスが収束して、それ以上のルールが適用されない、つまり事実上「時間が止まる」場合はどうだろう。これは、ルリアードにおける空間的特異点（ブラックホール）のようなものである。また、計算理論的には、「どのような計算をしても有限時間で結果が得られる」という決定可能なものに相当する。
次のような質問を始めることができる。支配空間におけるブラックホールの密度はどのくらいか？チューリングマシンを使ってルリアードを構成する場合、これは基本的に”ルリアル空間におけるハルティングチューリングマシン（+初期条件）の密度は？”と尋ねるのと類似している。そして、これは基本的にChaitinのΩで与えられる。
でも、じゃあ、ルリアードには、ただ計算すればいいような数Ωがあるのだろうか？まあ、実際には、あらない。なぜなら、ハルティング問題の決定不可能性によって、Ωは計算不可能だからだ。近似値を求めることはできるが、ルリアードの言葉を借りれば、それは特定のサンプリングや特定の参照枠を使うことに対応する。言い換えれば、ルリアードの「決定不能性ブラックホール」の知覚密度さえも、観察者の特徴に依存する。
ルリアードの向こうには何があるのか？
物理学プロジェクトでは、通常、宇宙は「時間を通して進化する」と話している（多くの歴史の糸が絡み合っているとはいえ）。しかし、もしルリアードやその構造が形式的必然の問題であるならば、ルリアード全体が事実上「すでに存在する」、つまり「時間の外」にあるということにならないだろうか？まあ、ある意味ではそうだ。しかし、それは結局のところ、私たちが「ルリアードを外から見る」ことができた場合にのみ、私たちに関係することなのである。
そして、ルリアードの中にいる私たちのような観察者は、必然的に異なる知覚を持つことになる。なぜなら、私たちの意識は、計算上の制約があるため、ルリアードのある連続した断片をサンプリングすることしかできないからだ。もし計算機的還元性がなければ、私たちは時間の中を「飛び回る」ことができるかもしれない。しかし、計算の非簡約性は、私たち自身の計算機的拘束性とともに、私たちの知覚が、計算の還元不可能なプロセスを通じて時間の経過を経験するだけであることを必然的に意味する。
つまり、外から見たルリアードは、ある意味で「すでにそこにある」かもしれないが、「中から見た」私たちのルリアードは、時間の経過に対応するように、必然的に進行していくものなのである。
計算量に縛られながらでも、ルリアードを違った形で体験できるのだろうか？ルリアードをグラフと考えると、私たちが通常行っている「連続した時間における空間の構成のシーケンス」によるルリアードの体験は、幅優先のトラバーサルのようなものである。しかし、例えば、深さ優先のトラバーサルで、すべての時間を探索してから、空間のさまざまな部分を調査することができるだろうか？(一般相対性理論の事象の地平線の近くや、時間的特異点に関連して、このようなことが起こる可能性がある）。
後ほど、ルリアードや宇宙を認識するさまざまな方法について説明する。しかし、首尾一貫した観察者と呼ばれるものの特徴として、知覚に何らかの進行が必要であるようだ。時間の経過とは言わないかもしれないが、ルリアードの探索には、計算不可能なプロセスが潜んでいることになる。
ルリアードに関する非常に重要な主張は、それがユニークであるということである。たしかに、さまざまな方法でコーディネートしたり、サンプリングしたりすることは可能である。しかし、最終的にルリアードは1つしかないのである。その論拠は、「計算上の等価性の原則」まで遡ることができる。計算等価性原理では、ほとんどすべてのルールが等価な計算を導くとされているため、本質的にルリアードは1つしかないのである。言い換えれば、計算等価性原理は、計算の究極の等価クラスは1つしかないことを教えてくれる。
しかし、そのようなクラスではない「ハイパーコンピューティング」を想像してみるとどうだろう。例えば、有限回のステップで、計算不可能なプロセスの無限回のステップから得られる結果を与えるハイパーコンピューティング（例えば、チューリングマシンのオラクルに似ている）を想像してみてほしい。このような超計算は、私たちの通常のルリアードの一部ではない。しかし、それを含むハイパー・ルリアードを形式的に想像することは可能であり、実際、順次大きく強力なハイパー・ルリアードの無限階層を想像することができる。
この宇宙では、ハイパーコンピューティングではなく、コンピュテーション（計算）しか起こり得ないというのが、私たちの主張であり、自然科学の問題として考えることができる。
純粋に形式的なレベルでは、ハイパー・ルリアードには何の問題もない。普通のルリアードと同じように、形式的な必然として存在するのである。しかし、重要なのは、ルリアードの中に組み込まれた観察者は、決してハイパールリアードを知覚することができないということである。形式的な必然として、ある意味、永久的な事象の地平線が存在し、どのハイパールリアードからのものも、通常のルリアードのものに影響を与えることができない。
なので、「ハイパーコンピューティングは私たちの宇宙では起きない」という発言について、もう少し正確に説明することができるようになった。つまり、私たち観測者は純粋に計算だけを行い、ハイパーコンピューティングは行わないと断言するのである。そしてこれは、私たちがハイパー・ルリアードではなく、通常のルリアードの中に組み込まれていることを意味する。
ハイパー・ルリアードの中に組み込まれ、ハイパーコンピュータ的に動作する宇宙を認識している他の存在を想像することはできる。しかし、ある意味で「宇宙について」よりも「私たちについて」の声明で、私たちはそれが私たちであるはずがなく、私たちはある意味で純粋にルリアードの中で生きていると主張する。つまり、私たちにとっては計算等価性原理が成立し、ハイパーコンピューティングではなく計算のみを認識することになる。
ルール空間を超えたコミュニケーション
ルリアードにはどのような観測者が組み込まれていて、それをどのように特徴づけるべきなのか。物理的な時空では、観測者を物理的な空間での位置や、彼らが構築する時空の参照枠のようなもので特徴付けるのに慣れている。ルリアードの観測者も同じで、ルリアード空間のどこにいるか、どんなルリアード参照枠を使うかによって、観測者を特徴付けることができる。
計算等価性原理は、ある「ルリアードの仕組みのモデル」を他のモデルに「エンコード」することがほとんど常に可能であることを教えてくれる。つまり、あるモデルのルールを他のモデルのルールでエミュレートするプログラムをセットアップするだけで、事実上、ルリアードの仕組みのモデルを作ることができる。しかし、これらの異なるモデルは、ルリアードの異なる可能な観察者に関連していると考えることができる。
言い換えれば、「定規空間の異なる場所にいる」（あるいは「異なる定規参照枠を使っている」）観測者は、ルリアードで起きていることに対して異なる記述言語を使っていると言える。そして、観測者がルリアード空間で「移動」するときは、ある記述言語から別の記述言語への翻訳を事実上行っていることになる。(そして、ルリアード空間には最大運動速度ρがあり、これは光速のルリアード・アナログであり、宇宙の基本的な処理速度によって事実上決定される)。
ここまでは、非常に抽象的な話に思えるかもしれない。しかし、支配空間の異なる場所にいることに効果的に対応する、身近な日常的な例があるのである。具体的には、命令セットが異なるコンピュータが挙げられる。もうひとつは、異なる意識を持つ異なる脳である。
私たちは、一人の人間の意識が、宇宙についてある種の経験を持っていると考えることができる。その経験の一部は、意識の物理的な位置と、世界をサンプリングするための感覚装置によって決定される。しかし、その一部は、意識が使用する「内部記述言語」によって決定される。そして、この内部記述言語は、必然的に、それが実装されている脳の詳細な生理学と、「世界の見方を定義した」過去の経験履歴の両方に依存する。人工ニューラルネットワークに例えると、異なるネットワークは異なる「内部表現」を持つ傾向がある。これは、ネットワークアーキテクチャだけでなく、ネットワークが「経験」した特定のトレーニングデータにも依存するからだ。
なぜ、ある人間の意識は、他の人間の中に「入り込む」ことができないのだろうか。それは、物理的な空間における分離の問題だけではない。異なる意識は、特に異なる歴史によって、支配空間の異なる場所に必然的に存在するのである。原理的には一緒にできるのであるが、そのためには物理空間だけでなく、支配空間での運動も必要である。
しかし、なぜ異なる意識が「宇宙で起きていること」に関して互換性のある見解を持っているように見えるのだろうか。これは基本的に、ルリアード相対性理論の帰結であり、計算等価性原理から導かれるルリアードの因果的不変性に依存していると考えられる。しかし、基本的には、因果的不変性によって、異なるルリアード参照枠は最終的に同じルリアード多方向因果グラフをもたらし、したがって同じ「現実の基本的記述」をもたらすということであるようだ。
これまで、意識の違いについてお話ししていた。しかし、「考え方の違い」だけではどうだろうか。考え方の違いは、支配空間における位置の違いに対応するというのは、例え話以上のものがある。共通の歴史がたくさんあれば、ルーラー・マルチウェイ・グラフに共通の祖先が存在することになり、ルーラー空間では必ず近くに位置することになる。しかし、共通の歴史がなければ、異なる記述言語、すなわち異なる考え方が存在することになり、それらは支配空間において近くない位置にあることになる。
物理的な空間では、運動量を効果的に使って場所を移動することが期待される。そしてそれは、支配空間でも奇妙なほど似たような話になる可能性がある。私たちの基礎物理学のモデルでは、エネルギーと運動量は、基本的に物理空間における活動（すなわち、素粒子更新イベント）の密度に関連している。そして、エネルギーと運動量も同様に、支配空間における活動という観点から、支配的な類似性を定義することができる。しかし、この活動こそが、支配空間の異なる部分間の接続を提供し、実質的に支配空間における「運動を可能にする」のである。
言い換えれば、もしあなたが支配空間内で動きたいのであれば、あなたの概念的な視点（あるいは本質的に同等に、物事を記述するための言語）を変えるために適切な計算作業を行うことによって、それを実現することができる。では、定規空間における曲率（または重力の類似物）についてはどうだろうか。定規空間における活動密度からアインシュタインの方程式を類推して生成されたものだとする。おそらくこれは、支配空間のある場所、ある考え方から別の場所に移動することの難しさ、あるいはかかる時間に関係しているのだろう。また、異なる考え方の間の「パラダイムシフト」のようなものが、事象の地平線のような定規空間の特徴と関連している可能性もある。
しかし、例えば、あなたが支配空間のある場所にいて、別の場所に行きたい、少なくとも「信号を送りたい」と思ったとする。定規空間の一点にある典型的な微細な変化は、ただ「四方八方に広がって」「すぐに減衰する」傾向がある。しかし、「コヒーレントに通信したい」のであれば、定規空間を伝播しながら持続する何らかの構造が必要である。そして、物理空間の場合との類推から、事実上「定規粒子」が必要になると推測される。
ルリアードの観点からは、ルリアル粒子は、ルリアル空間に瞬間的に効果的に局在し、ルリアル空間を伝播する際にその同一性を維持する、ある種の「位相的障害」または「位相的に安定した構造」であると推定される。しかし、より日常的な用語では、支配的な粒子は何であろうか？
それは、私たちが通常考える概念、つまり人間の言葉でいうところの「言葉」のようなものだろう。もし、私たちの考え方や意識が異なるものであった場合、その間を行き来するのに十分な強度を持つものは何かということが問題になる。そして、その答えが「概念」であることは、日常の経験からも明らかだ。考え方が少し違っても、「魚」という概念で、しっかりと伝えることができる。
私たちのような観測者にとって、物理空間に存在する「素粒子」の種類は有限であるように思えるのは、興味深いことである。それは、私たちのような観察者が、ある意味で「基本概念」（人間の言葉でいうところの「単語」）が有限であると想像していることと無関係ではないかもしれない。しかし、私たちのような観察者は、ルリアードのサンプリング方法を持つので、これらは私たちが知覚する核となるコヒーレントな構造かもしれない。
では、物理学の基礎理論はあるのだろうか？
ルリアードの概念は、物理学の基礎理論を見つけようとする私たちの努力から生まれた。しかし、ルリアードがわかったところで、それが基礎理論について何を物語っているのか？
当初は、「これが宇宙のルールだ」と言えるような特定のルールを特定することが、このプロジェクトの終着点だと考えていたかもしれない。しかし、そうすると、当然ながら、次のような疑問が湧いてくる。「なぜ、そのルールで、他のルールではないのか？そして、「それは科学の枠を超えなければ答えられないことだ」と言わなければならないことも想像される。
しかし、ルリアードはそれとはまったく異なる、そして最終的にはもっと満足のいく絵を暗示していると私は考えている。ルリアード自体は抽象的な必然性のある構成物であり、ある意味、宇宙のあらゆる可能なルールの絡み合った振る舞いを表している。しかし、これらすべての可能性の中からある特定のルールが「外から選ばれて」「私たちの宇宙のための選択」と想像するのではなく、ルリアードの中に組み込まれた観察者である私たちが、ルリアードのサンプリングや認識の仕方によって、暗黙的にルールを選んでいると考えるのである。
最初は弱音を吐いているように見えるかもしれない。私たちは、宇宙の仕組みを知りたいのである。それなのに、「自分たちが好きなルールを選んでいるだけだ」と言っているように見える。しかし、実はそうではないのである。というのも、私たちのような漠然とした観測者は、宇宙に対してどのようなルールを設定できるのか、事実上、深く制約されているからだ。まだ自由はあるが、基本的な結果として、私たちのような観測者にとっては、どんなルールを選んでも、物理学の中心的な一般法則、特に一般相対性理論と量子力学を大規模に再現することは、基本的に避けられないと思われる。
つまり、私たちのような一般的な観測者にとっては、私たちが知っている物理学の一般法則を観測しなければならないというのは、抽象的な必然の問題なのである。しかし、もっと具体的なこと、たとえば素粒子の特定のスペクトルや、宇宙における物質の特定の分布についてはどうだろうか。つまり、ルリアードの構造や私たちのような観測者の一般的な特徴から、純粋に抽象的な必然性のある事柄は何なのか、ということである。
しかし、必然的にある時点で「一般的なもの」を使い果たすことになる。そして、具体的な話になっていくのである。では、その具体的な内容はどこにあるのだろうか？それは結局のところ、ルリアードのサンプリング方法の詳細によって決定されなければならない。そして、その顕著な部分は、単純なことである。私たちはルリアードのどこにいるのか？物理的な空間における私たちの位置について、そう問うことができる。また、ルリアード空間での位置についても、それを問うことができる。
これはどういうことなのだろうか？あるレベルでは、観測者としての私たちのあり方が、私たちの宇宙にある種の法則性を持たせているということである。ルリアードはある意味、根本的に存在する唯一のもので、実際、その存在は抽象的な必然性の問題である。そして、私たちが体験する宇宙は、「ルリアードの一片」であり、その一片は、私たちの観察者としてのあり方によって決定されるのである。
私たちが言っていることの論理構造を見てみよう。まず、私たちはルリアードについて説明しているが、このルリアードは最初から物理学と特別な関係があるわけではなく、抽象的な必然性のある構造を持つ形式的な構成要素であり、物理学と同様に数学にも関係している。しかし、「物理を入れる」のは、私たちが事実上「ルリアードの中に住んでいる」ということであり、私たちのすべての認識は「ルリアードを経験する」ことに基づいているのである。しかし、その経験と、それに伴う物理法則は、必然的に「ルリアードのどこにいるか」「どのようにサンプリングできるか」に依存する。
そして、ここからが私たちの「反証可能な自然科学」の出番なのである。私たちが行う最初の「自然科学の主張」は、私たちは通常のルリアードの中にのみ組み込まれており、ハイパー・ルリアードには組み込まれていない、というものである。
これは、2つ目の主張と密接な関係があり、実はこれを包含していると考えることができる。つまり、私たちは計算上制限された観測者であり、言い換えれば、私たちの知覚のプロセスは制限された計算を伴うということである。ルリアード全体とそれに伴うすべての計算に対して、私たち観察者はごく一部を占めるに過ぎないと主張しているのである。
もうひとつ、これも計算上の制約に関連した主張であるが、私たち観測者はある種の一貫性や永続性を持っているということである。一般に、ルリアードは、あらゆる種類の荒々しい、計算不可能な振る舞いを含んでいる。しかし、私たちが主張しているのは、観測者である私たちに関連するルリアードの部分は、ある種の単純さや計算上の還元性を持っていて、私たちが時間をかけて進化したり、空間を移動したりしても、私たちのアイデンティティは何らかの形で維持されるということである。
これらの主張は、非常に一般的で、ある意味では、少なくとも私たちに適用されるものであれば、ほとんど自明であるように思われる。しかし、重要かつ驚くべき発見は、これらの主張が、私たちが知っている物理学の重要な特徴に、不可避的に導いているように見えるということである。
この物理学はどこから来るのだろうか？それは、ルリアードの形式的な構造と、ルリアードが関与するマルチコンピューティングプロセスの形式的な特徴から来るものである。また、観測者である私たちの性質にも由来している。なので、「なぜ私たちの宇宙の物理はこのようになっているのか」と問えば、その答えの重要な部分は「私たちがこのように宇宙を観察しているから」なのである。
ある意味、物理学は宇宙をどう観測するかという選択肢を与えてくれないと想像するかもしれない。しかし、そうではない。なぜなら、結局のところ、私たちが宇宙を「観察」するのは、私たちが宇宙に対して構築した「抽象的な概念モデル」のことだからだ。そして、それは確かに、私たちが持つ特殊な感覚器官などに影響される。しかし、それは、私たちが想像しうる別のものなのである。
私たちは、宇宙に対してある特定の記述言語を使っていると考えることができる。その言語の構造は、先に述べたような主張によって制約を受ける。しかし、そのような記述言語の中では、物理法則は必然的にそのように機能するのである。しかし、もし私たちが別の記述言語を選んだら、異なる物理法則が出来上がってしまうだろう。
私たちの宇宙観の多くは、目などの感覚器官の働きや、脳が入力した情報を統合する方法など、生体の構造に基づいている。しかし、それだけがすべてではない。私たちの文明には、「生の知覚」をどのように解析するか、つまり、どのような記述言語を使うかを決定する、ある種の知識ベースがある。例えば、「周期的な行動」という概念を手に入れると、それまではあまり「経済的」ではない方法で語らねばならなかったことを、その概念で説明できるようになる。
しかし、もし私たちの知識が変わってしまったらどうだろう？あるいは、私たちの感覚的な能力が違っていたとしたら？あるいは、テクノロジーを使って、さまざまな方法で感覚的な入力を統合するようになったら？そうすれば、私たちは異なる方法で宇宙を知覚し、記述することができるようになるだろう。
ルリアードには多くの「並行宇宙」が存在し、私たちはそのうちのひとつに選ばれている、おそらく私たちの特殊な特性の結果なのだろう、というのが第一印象かもしれない。しかし実際には、ルリアードは「並行宇宙」ではなく、可能な限り微細なレベルで絡み合った宇宙を対象としているのである。そして、このことの重要な帰結は、私たちが「特定のパラレルワールドに閉じ込められる」わけではないということである。むしろ、何らかの方法で「視点を変える」ことで、事実上「別の宇宙」にいることを発見できると期待できる。
別の言い方をすれば、宇宙のある記述は、定規空間のある場所にいることでおおよそ表現される。しかし、定規空間を移動することで、異なる記述、異なる宇宙の有効法則に行き着くことができる。
しかし、ルーラル空間での運動はどれほど難しいのだろうか。未来の素晴らしい技術によって、物理法則が大きく変わるような「十分な距離の移動」が可能になる可能性もある。しかし、それよりも可能性が高いのは、比較的小さな距離しか移動できず、計算の境界や観察者のコヒーレンスといった「箱から出る」ことができなくなることだろう。
もちろん、少し変えるだけで、電子の質量が変わったり、電磁結合定数αの値が変わったりと、物理の詳細な法則が変わるかもしれない。しかし実は、従来の物理学でも、このようなことはすでに起こっているのである。異なるエネルギースケールで見た場合、あるいはある意味異なる技術で見た場合、これらの量は（繰り込み群によって特徴づけられる）異なる実効値を持つ。
私たちの知識や技術が変われば、物理法則も変わるというのは、最初は少し不思議に思うかもしれない。しかし、要は、本当に私たちが認識している物理法則なのである。生のルリアードのレベルでは、明確な物理法則は存在さない。ルリアードの「一片をサンプリング」することで、初めて明確な法則を認識することができる。
このことは、物理学の基礎理論の探求にとって、運用上どのような意味を持つのだろうか。あるレベルでは、ルリアードを指差して勝利を宣言することもできる。しかし、それでは、私たちが認識している宇宙の特殊性についての具体的な予測はできないだろう。そのためには、さらに踏み込んで、私たちが扱っているのが「ルリアードの一片」なのかについて、何か言えるようにならなければならない。しかし、良いニュースは、私たちのような観測者が知覚すべき多くの物理法則を特定するために、観測者である私たち自身について多くの仮定をする必要がないようだということである。
では、ある特定の観測者が持つような、宇宙に関する単一の具体的な法則を解明することはできるのだろうか。観測者である私たちの特性を考えれば、答えは間違いなく「ノー」である。私たちは支配空間においてそれほど小さくはないのである。しかし、それほど大きくもない。そして、重要なことは、私たちは十分に小さいので、「科学を行う」ことができ、宇宙が「明確な方法で振る舞う」と考えることができる。しかし、物理的な空間において、私たちが空間の原子に関連するスケールよりもはるかに大きいのと同様に、支配的な空間においても、私たちはルリアードの個々の構成要素よりも間違いなくはるかに大きいのだろうから、私たちの経験がすべてルリアードの「一本の糸に集中」して、ある特定の規則に従うとは思えない。
先に述べたように、実験によって科学的な推論を行い、自分自身を支配空間に定位させようとすることは可能である。しかし、「私たちの視点から見ると、宇宙はこの特定のルールに従って動いていて、他のルールには従っていない」と言えるほどのことはできないだろう。その代わり、現実的に行える実験の結果を予測するのに十分な、「十分な」ルールのコレクションが存在することになる。
私たちは、「物理を突き詰めても、この宇宙の法則を見つけることはできない」と考えていた。そして、ある意味、私たちは自分自身を支配空間に定位させることができないので、その直感を裏付けることになる。しかし、この物理学プロジェクトがむしろ劇的に示唆しているのは、私たちの宇宙がどのように機能するか、少なくとも私たちのような観測者がどのように機能すると認識するかについて、膨大な予測力を持つことができるほど、支配空間に「十分に近づく」ことができるということなのである。
ルリアードの宇宙人観
「私たちのような観測者」は、私たちが知っている物理法則に従って宇宙を認識するような方法で、必然的に「ルリアードを解析する」ことを議論していた。しかし、いったい何が違うのだろうか？私たちは、21世紀の人類の経験、特に生物学、テクノロジー、思考方法に基づいて、「合理的な観察者」を構成する明確な感覚を持っている。
しかし、他にどのような観察者を想像できるだろうか。例えば、人間以外の動物、特に嗅覚やエコーロケーション、流体運動に重点を置いた感覚を持つ動物はどうだろうか。そのような動物は、異なる定規参照枠や定規空間の異なる場所で活動していると考えることができる。しかし、そのような動物は、どの程度の距離にいるのだろうか。彼らの「世界観」（や物理法則の認識）は、私たちのそれとどの程度似ているのだろうか、あるいは似ていないのだろうか。それはわからない。おそらく、計算機の境界性と一貫性についての私たちの基本的な主張は、そのまま適用されるだろう。しかし、例えばアリのコロニーの場合、時間的な順次性のようなものがどのように作用するかは、まったく不明なようだ。
いつか、私たちは体系的に「他の動物のように考える」ことができるようになるのかもしれない。しかし、今のところ、私たちは支配空間で「そこまでの旅」をすることはできていない。物理的な空間、たとえば地球上の空間はかなり徹底的に探検していたが、支配的な空間はまだ全然探検できていないのである。私たちの思考を「別の思考」に変換する方法がなく、そのための共通言語もないのである。
もし、脳や言葉といった人間の経験の詳細がないのであれば、私たちが扱っているのはもっと根本的に単純なものであり、例えば、私たちが知能と認識するような特徴を示すことはできないはずだ、という仮定（一種の「人間例外主義」）がしばしばある。しかし、「計算等価性原理」は、これは正しくないことを教えてくれる。なぜなら、私たち人間だけでなく、他のさまざまなシステムでも達成できる、ある最大限の高度な計算が存在すると言うからだ。しかし、実際には、計算機的な洗練と、それに関連する知能の概念の直接的な一般化は、さまざまな種類のシステムで非常に普遍的に見られるものなのである。
では、そのような他の種類のシステムは、「私たちのような観察者」として振る舞うことができるのだろうか？そのためには、単に計算が巧みなだけでなく、私たちが持つ「意識経験」という首尾一貫した糸につながる特徴と、ある種の整合性が必要である。さらに、そのようなシステムと実際に「つながる」ためには、十分に翻訳を行うことができるほど、支配空間の遠くまで到達できる必要があるのである。
天気を想像してほしい（「自分の心を持つ」と言われることもある）。天気予報は、計算機として非常に高度な機能を持っている。しかし、私たちと同じように時間を連続させることはできるのだろうか？それとも、大気のさまざまな部分が「それぞれの時間で動いている」と考えるしかないのだろうか。このようなことを知るためには、気象の仕組みと私たちの（現在の）考え方を「翻訳」する方法が必要なのである。
そして、ある意味では、自然科学という営みは、自然と私たちの考え方の間に、翻訳の方法、つまり共通言語を見つけるための努力であると考えることができる。
自然科学の課題は、ルリアードのより多くの部分を私たちの思考プロセスに変換する方法を定義することができるように、ルリアード空間に「手を伸ばして」ルリアードを「引き入れる」ことである。私たちが実験をするたびに、これは私たちと自然のある側面との「つながり」や「コミュニケーション」の瞬間を表していると考えることができる。実験によって、私たちと自然の間にある小さな「共通の歴史」が定義され、それが私たちと自然に関連するルリアード空間の部分を「結びつける」のに役立つのである。
科学の大きな謎のひとつは、広大な宇宙空間の中で、なぜ「異星人の知性」や「異星人の文明」と呼ばれるものが発見されないのか、ということである。それは、私たち人類が知能や計算能力において独自の頂点を極めたか、あるいは根本的にまだ十分に到達していないからだと考えてきたかもしれない。しかし、「計算等価性原理」は、このような宇宙的な計算機序列の考えを打ち砕くものである。
では、実際には何が起こっているのだろうか。ルリアードの観点から考えてみると、答えが見えてくる。私たちの電波望遠鏡は、物理的空間の遠くからの信号を検出することができるかもしれない。しかし、宇宙人は物理的な空間だけでなく、支配的な空間にも住んでいる可能性がある。
別の言い方をすれば、「宇宙人文明」は、私たちが慣れ親しんでいるものとは全く異なるルリアード、ひいては宇宙の側面をサンプリングしているのかもしれない。その異なるサンプリングは、空間の原子のレベルで行われているかもしれないし、あるいは、私たちと宇宙人との定規の距離が十分に小さく、「記述言語の共有」が十分に行われているので、宇宙人の文明は、私たちの「宇宙で何が重要か」という見解に対して、ある種の「ノイズ」に見えるレベルまで上昇しているかもしれない。
私たちは、「異星人文明」と呼ばれるものが、物理的な空間ではどの程度離れているのか不思議に思うかもしれない。しかし、現在では、支配空間での距離も考慮しなければならないことが分かっている。物理的な空間を探索するときに、より良い宇宙船や望遠鏡を作ることができるように、支配的な空間に到達するためのより良い方法を作ることができる。
私たちは物理的な空間に慣れ親しんでいるので、物理的な空間に手を伸ばすことがとても具体的に感じられるのである。もちろん、物理学プロジェクトでは、物理空間での運動は、他のすべてのものと同様に、純粋な計算過程として終わる。この観点からすると、支配的な空間を横切って手を伸ばすことは、結局のところ、抽象的なことではないのである。
私たちの体の大きさと比較すると、宇宙はすでに広大な場所に見える。しかし、ルリアード全体はさらに信じられないほど広大である。そして、私たちは、物理的な空間よりも、宇宙全体から見たルリアードの空間の方がはるかに小さいと思われる。しかし、ルリアードの観点から考えると、問題は、ルリアード空間で起こっていることが、「異星人の文明」としてうまく見ることができるほど、私たちに近いかどうかということなのである。
定規の距離のテストとして、宇宙人が私たちと同じ物理法則を認識しているかどうかを尋ねることができるかもしれない。私たちは、少なくともその法則の一般的な形が、私たちにはかなり緩い条件によってのみ決まることを知っている。しかし、良いアライメントを得るためには、少なくとも、私たちと宇宙人が物理的空間（と枝葉の空間）だけでなく、定規の空間においても何らかの「大きさが同等」である必要があると思われる。
宇宙空間の違う場所にいる宇宙人の視点から宇宙を想像するのは、とても難しいことだと思う。しかし、例えば、宇宙人が支配空間の中で私たちと比較して大きい場合、彼らは必然的に私たちよりはるかに「曖昧」と思われる科学のバージョンを持つことになると言えるだろう。なぜなら、もし彼らが一貫した経験の糸を維持するならば、彼らは支配空間のより遠い経路を混同しなければならず、そこでは宇宙は私たちの慣れとは「より異なる」ことを行うだろうからだ。(そして、量子現象には、例えば、支配空間内で大きく分岐する混同された経路に関連する支配的な類似性があるはずです)。
物理空間では近くにいても、支配空間では離れたところに異星人の文明があるとしたら、操作的にはどういうことになるのだろうか。基本的には、宇宙文明は、私たちが解釈できないような宇宙の特徴で「活動」していることになる。簡単な例で言うと、例えば気体の入った箱を見たとき、私たちは「これはある温度と圧力のあるものだ」と思うかもしれない。しかし、そのシステムを別の「解析」をすると、分子の細かい動きの世界が見えてきて、その解析の結果、広大な「異星文明」と見なすことができるかもしれない。もちろん、ルリアード全体、そしてそれが表す歴史の道筋や空間の原子の構成となると、状況はもっと極端なものになる。
ルリアード全体から見れば、私たちの文明と経験は極めて小さな断片を切り出したに過ぎない。そして、私たちが「異星人の文明」と考えているものも、それぞれの小さな断片を切り分けているのかもしれない。そして、私たちは皆「同じルリアドに住んでいる」のですが、物理的な空間の広大な距離を越えて、お互いを検出したり、コミュニケーションを取ったりすることはできないかもしれない（おそらく、非常に少ないだろう）。
未来はどうなるのだろう？私たちの文明の未来は、支配的な空間をさらに拡大する物語になるかもしれない。私たちが新しい技術を発明し、新しいアイデアを探求し、考え方や捉え方の幅を広げていけば、少しずつではあるが、支配領域を広げていくことができる。どこまで行けるだろうか？最終的な限界は、定規の最高速度で決まる。しかし、私たちが「私たちのような観察者」としての性格を維持しようとするならば、間違いなくもっと低い速度に制限されるだろう。
とりわけ、定規を使った空間移動は、計算を伴うものである。(究極のスケールは、宇宙の「処理能力」によって設定され、それが最大定規速度を定義する）。しかし、「計算の密度」は事実上、一般化された質量に相当し、例えば「一般化された重力」の源となるものである。そして、定規空間で「かなりの距離を移動する」ためには、「十分な一般化された重力」を経験しなければならず、「私たちのような観測者」であるために必要なコヒーレンスのようなものを維持することができない、ということもあり得る。
別の言い方をすれば、「支配的な宇宙空間に手を伸ばし」「支配的な宇宙人と接触する」ことは原理的には可能かもしれない。しかし、そうするためには、私たちが現在の私たちとはあまりにも違う存在になる必要があり、意識など、私たちを「私たちたらしめているもの」を認識することができないかもしれない。もしそうなら、私たちはある意味、ルリアードというものを、ルリアード空間の特定の場所から「自分たちだけで」体験することになり、ルリアード空間の他の場所にある「異星人の文明」からは永遠に隔離されてしまう。
ルリアードの概念的な意味合い
ルリアードという概念は、科学というものに対する私たちの基本的な考え方にどのような意味を持つのだろうか。一般的に「科学とは何か」というと、「世界がどうなっているのかをできるだけ「客観的」に解明すること」というイメージがあるだろう。しかし、ルリアードの概念は、ある意味でそれを覆すものである。
なぜなら、ある究極のレベルでは、すべては抽象的な必然性の問題である、と言っているからだ。そして、それを私たちが「解析」することで、科学と呼ばれるものの主題が定義されているに過ぎないのである。私たちはこれまで、宇宙の科学は「外の世界」にあるものだと思っていたかもしれない。しかし、私たちは、ある根本的な意味において、宇宙の科学はすべて「私たち自身のもの」であることに気づいているのである。
しかし、それは「客観的な真実」がなく、宇宙について「私たちを通さずに」強固に語ることができるものがないということだろうか。いいえ、そうではない。私たちが物理学プロジェクトで発見したことは、私たちのような観測者が認識する宇宙とその法則について、実はかなりグローバルなことが（「客観的に」）言えるということなのである。
私たち人間や、私たちが物事を認識する特定の方法について、詳しく知る必要はない。必要なのは、いくつかの一般的な特徴、特に、私たちが計算量に縛られていること、私たちが一定の持続性と一貫性を持っていることである。これだけで、私たちの宇宙がどのように動いているのか、少なくとも私たちが認識している宇宙がどのように動いているのか、かなり具体的な記述が推測できる。
つまり、ある意味、「客観性の領域」が広く存在し、私たちの宇宙に関する同じ「客観的真実」に到達できるような、私たちのあり方の選択肢の大きな集合が存在するということである。しかし、私たちが「ルリアードを解析する」メカニズムに十分な距離を置くと、これはもはや事実ではなくなる。しかし、「ルリアードの解析」の仕組みから大きく外れると、そうではなくなってしまうのである。
このようなものの見方は、長い間議論されてきたさまざまな哲学的な問題に対して、さまざまな示唆を与えてくれる。しかし、この見解は、科学的にも正確な結果をもたらすものでもある。しかも、それは物理学に関係するものだけではない。なぜなら、ルリアードは、ありとあらゆる抽象的なルールの絡み合った振る舞いを表現する一般的な物体だからだ。私たちがこのオブジェクトの中に組み込まれた観測者であると考えるとき、私たちにとって物事は現実化され、物理学と呼ばれるものが存在することを意味する。しかし、私たちはルリアードをさまざまな方法でサンプリングすることも想像できる。
その中には、数学（あるいはメタ数学）に相当するものもある。理論計算機科学に対応するものもある。ルリアードは、それらすべての根底をなす単一のオブジェクトである。そして、そのどれについて話しているかは、ルリアードのサンプリングや解析をどのように想像するか、そして観察していることをどのように説明するかによって決まるのである。
これほどまでに一般的で普遍的であれば、ルリアードが複雑な物体であることは避けられないだろう。しかし、重要なのは、ルリアードという明確な概念を持ち、それを研究・分析できるようになったことである。
これを行うのは簡単なことではない。ルリアードは、あるレベルでは、偉大で、おそらく最高にエレガントな抽象的な規則性を持つ物体である。しかし、その構造を具体的に把握するためには、抽象的な規則性が失われる「消化できる切り口」に分解する必要がある。
そして、ルリアードを「解きほぐし」、「拾い上げる」ための最善の方法を見出すのは、まだ始まったばかりなのである。明示的な計算では、ルリアードの最も単純な近似値を削り取ることしかできないのである。ある意味、ルリアードの自然さと必然性は、私たちが知っている最も高度な抽象的な数学的手法と密接に関係していることに敬意を表している。しかし、これらの方法を使っても、ルリアードの表面とその内容をほとんど理解できていないのである。
ルリアードの理論的な探求は、長く困難な旅になるだろう。しかし、ルリアードの驚くべき一般性と普遍性は、すべての進歩が非常に強力な結果をもたらす可能性があることを意味する。ある意味、ルリアードの探求は、理論的な探求をすることの意味をすべて凝縮した表現であり、理論科学とそれ以上のものの究極の抽象的な限界のようなものであると考えることができる。
私にとっては、ルリアードは、一般的な計算パラダイム、単純なプログラムによる計算宇宙の探求、計算等価性原理、物理学プロジェクト、マルチコンピューティングの概念など、ある意味、アイデアの塔の上に構築されている。しかし、これらのことを差し引いても、抽象度をさらに上げることは重要である。そして、その結果が明らかになるには、かなりの時間がかかるだろう。
しかし、少なくとも私が「ルリアード」と呼ぶものを定義できたこと、そしてその前例のないほど広範で深い意味を見いだせるようになったことは、今のところエキサイティングなことである。
付録「マルチプライカッド」の場合
ルリアードのようなものの非常に単純な例として、「マルチプライカード」と呼ばれるものを考えることができる。これは、整数に基づくルールのマルチウェイシステムで、ルールは単に連続した整数を乗算するものである。
(なお、このような純粋な乗算は、おそらく計算ユニバーサルではないので、ここでの限定対象は、実際の完全なルリアードの座標化ではないだろう)。
フル・ルリアードと同じように、マルチプリカッドを構築するためのさまざまな「方向性」が存在する。乗算器やステップの数はいくらでも増やせますが、生成される数字の大きさは、ここでは30個に制限している。
別の方法として、乗算器の数sを次のように制限することができる。
.すると、このようにマルチプライカードが積み上がっていくのである。
これまで描いてきた絵では、事実上、同じ整数の異なる出現を常に重複排除している。例えば、整数12は、1×3×4や1×6×2,1×3×2×2などとして生成することができる。そして、原理的には、この「異なる12」をそれぞれ別々に表示することができる。しかし、重複排除されたグラフでは、12は1つしか現れず、12のさまざまな分解が、12に至る複数の経路の存在に反映される。
時には、すぐに重複排除を行わない方が、より豊かで、より大きな構造を得ることができる。例えば、任意の数の乗算器を許容する場合（すなわち、テイク
そして、重複排除を行えば、「すでにすべての整数を持っている」ので、これでグラフは終わりとなる。しかし、もし重複排除を行わなければ、もう少し複雑な、次のようなグラフが出来上がる。
このグラフの「位相的」な構造はわかりやすいのであるが、数字による「ラベリング」はそうもいかず、例えば、ある数字がtステップ後にどこに現れるかを問うと、より複雑になる可能性がある。
最初のステップで最大s個の乗算器に関連するサブツリーだけを見ている、あるいは同等に、s個のルールだけで「切り捨てられた」ルールのマルチウェイシステムを見ていると想像してほしい。の後にどのような数字が表示されるだろうか？
のステップになるのだろうか？答えは、s×sの掛け算表で、まさにその数字からスタートすることになる。
:
明らかにここには素数は登場さないが、何度も登場する数字もある（例えば、12は4回登場する）。一般に、数字が何回出てくるかは
が表示されるのは、それが持つ正規の約数の数、つまりDivisorSigma[0,n]-2である。
これを続けて、ある数nがあるステップtで何回発生するかを問うことができる。
この結果は、s×s×s...（t回）の掛け算の配列の中で、nが何回登場するかで決まると考えることができる。また、ある数nの結果を知るには、nを因数に分解する方法をすべて調べることができる。例えば
を、例えば、持っていることになる。
そして、このことから、12が一度だけ登場することを推論することができる。
(で4回、（つまり1因子で）4回。
(で3回、（つまり2因子で）3回である。
(つまり、3つのファクターで)。
完全なmultiplicadは、限界値を取ることで形成される。
と
(本来は限界もあるのであるが
を、可能な限り無限の初期条件のセットに対して行う)。このように、sとtでどのようにサンプリングするかによって、マルチプライカードの「有限の認識」は異なってくる。
例として、与えられたsがtの関数としてどうなるかを考えてみよう。
の場合、単純に2のべき乗となる。
については
ここで、2と3の両方を掛けると、次のようになる。
多方向系の研究において、tステップの間に到達する状態数の成長率（すなわち測地球の体積の成長率）を問うことは、しばしば興味を引く。このとき
の場合、ステップtで到達した状態の数は、単にtである。
は、三角数t（t –1）/2である。
ここでは、より大きなsの場合の結果を紹介する。
これらの配列は、それぞれ符号付き二項係数の列で与えられるカーネルを持つ線形再帰関係によって生成される。連続するtの値は多項式で表すことができる。
そして、状態数の増加の先頭項は、これらの多項式の次数によって決定され、それはちょうどPrimePi[s]であることが判明した。
ケースについて
このように、多方向グラフは基本的に単純な2次元格子を形成していることがわかった。sが大きくなると、グラフはより複雑になるが、それでも格子状に近似しているが、その次元はPrimePi[s]である。(PrimePi[s]が現れるのは、ある意味で、sより小さい素数の組み合わせが、多方向グラフの構造の最大の「推進力」だからである).
多路グラフの一般的な解析では、多路グラフの一片を、与えられたtに対して効果的に観察し、どの状態が共通の祖先を持つことによって接続されているかを問うことによって得られる分岐グラフ、あるいは支配的多路システムについては支配グラフと呼ぶことができるものを考えるのが一般的である。その結果は
はむしろ些細なことである（ここでは
, 2, 3):
については
を得ることができる。
そして、そのために
がございる。
ある意味、これらの絵は、多倍長の数字が「定規の空間に並べられる」ことを表している。について
ラージ-tグラフ」は非常に直線的な形をしている。
と、「左から右へ」表示される数字が、多かれ少なかれ数字順に並んでいる。
については
のように、2D的な構造になっている。
そしてまた、現れる数字は、「数列」のようなもので大まかに並べられている。
そして、このことは、多項式が、そこに現れる数の値だけで、近似的に座標化できる「定規空間を生成する」ことを示唆していると考えることができる。極限での仕組み
とはいえ、「1次元」の数値列は、空間を埋める曲線の近似として、PrimePi[s]次元空間を「蛇行」していると思われる。
一般に、使用できる葉の形はさまざまであり、それらはすべて、異なる「参照フレーム」から、実質的にマルチプライカードの異なるビューを与えるものである。
冒頭で述べたように、マルチプライカードはそれだけでは完全なルリアードを生成することはできないと思われる。しかし、根本的なルールを変えれば、おそらく掛け算だけでなく、足し算を入れるだけでも、普遍的な計算が可能なシステムができる可能性があり、その結果、完全なルリアードを生成することができる。言うまでもなく、ここで用いたような「数値処理」によって得られるルリアードの特定の表現は、物理的な宇宙の認識から得られる表現とは全く異なるかもしれない。
謝辞と補足
Xerxes Arsiwalla、James Boyd、Elise Cawley、Hatem Elshatlawy、Jonathan Gorard、Nik Murzinには、ruliadの様々な側面について議論していただき感謝している。また、Ed PeggとJoseph Stockeには、multiplicadに関する情報を提供してもらい、感謝している。Xerxes ArsiwallaとJonathan Gorardによる新しい論文では、ruliadに関するいくつかのアイデアと結果について、より技術的な方法で議論している。
オートマトン、ウルフラム