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ゲーデルの不完全性定理は神経科学の限界的な結果か?
Are the Gödel incompleteness theorems limitative results for the neurosciences?

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www.ncbi.nlm.nih.gov/labs/pmc/articles/PMC2791808/

2009年6月12日オンライン公開

Jeff Buechnercorresponding author1,2

概要

科学の分野では、様々な種類の限界的な結果があり、中には哲学的なものもある。私が興味を持っているのは、神経科学における限界的な結果のうち、数学的なもの、つまりゲーデルの不完全性定理によって確保された結果を検討することである。不完全性定理を独立性の結果と捉え、集合論における独立性の結果との関連性を明らかにした上で、神経科学(および分子生物学、システム生物学、合成生物学)における研究では、このような数学的な限界的結果を回避できる可能性があることを論じる。これを示すことで、これらを回避できないことを証明することは、有限の心の計算能力を超えた計算上の課題であることを主張する。その過程で、意識の性質に関する3つの哲学的主張をゲーデル不完全性定理の観点から再定式化し、これらの主張の正確な再定式化が武装解除可能であることを論じている。

キーワード ゲーデル不完全性定理、ワッツ・ストロガッツ・ランダム・ネットワーク、バラバシ・アルバート・スケールフリー・ネットワーク

はじめに:科学における極限的な結果

科学における極限的な結果には、様々な意味があり、また様々な種類の極限的な結果がある。ここでは、神経科学に焦点を当てるが、私の主な結論は、分子生物学、システム生物学、合成生物学にも当てはまる。限界のある結果には、哲学的、数学的、物理的、経済的、社会的、政治的、倫理的など、さまざまなカテゴリーがある。例えば、経済的な限界とは、ある科学の理論的主張を検証するために必要な実験を行うための資金が不足していることである。物理学の例では、ヨーロッパのスーパーハドロン衝突型加速器がある。これに匹敵する装置をアメリカで作ろうとしたところ、議会で否決されてしまった。神経科学の分野では、どのような実験を行うことが価値があると判断されるかは、政治的な判断を必要とする。あるアイデアは、その分野の権威が「そのアイデアにはほとんどメリットがなく、実験するのに無駄な費用がかかる」と判断したり、「そのアイデアにはメリットがあるかもしれないが、もっとメリットのあるアイデアがあって、そちらを先に実験すべきだ」と判断したりして、実験されないことがあるのである。また、あるアイデアがテストされ、他のアイデアがテストされない理由を、金銭的効用で測ったペイオフなどの説明的な用語を使って、ゲーム理論の考え方で説明することもできる。そのような実験を行わない倫理的な理由があるかもしれない。実験を行うための資金が、栄養失調の子供たちに食料を提供するための基金から徴収されるかもしれず、そのような収奪は倫理的ではない。このような限界的な結果は、もし状況が違っていたら、成り立たなくなってしまうであろう。状況が(ほとんど)変わっても持続する限定的な結果はあるのであろうか?

データモデルマップと限定的な結果

神経科学で用いられる数理モデルが現象を正確に記述しているかどうかが懸念される。では、数理モデルは現象にマッピングされているのであろうか?例として、結合振動理論が実際の脳細胞にマッピングされるかどうかを考えてみよう。J.L.ペレス・ベラスケスは、神経科学における限界的な結果についての重要な論文の中で、実際の脳細胞では、弱くかつ大域的に結合した固有振動子はほとんど見られないと主張している[1]。数学モデルと実際の脳細胞との間に適切な種類のマッピングが見つからないことは、それが以下に述べる質的に異なる制限的結果の1つ(または複数)の例である場合にのみ、制限的結果となる。そうでない場合は、データを記述するのに適切な数学モデルは何かという経験的な問題になる。データを記述する数学的モデルが存在しないと考える理由がなければ、それは制限的な結果となり、最適なモデルが見つからないことは単なる経験的な問題となる。

決定力不足の限定的な結果

哲学的な限界結果は、科学における限界結果のもう一つの種類である。これらの限界結果は、(1)科学理論の本質的な特徴や、(2)観測に関係する限界を明らかにするという点で興味深いものである。一般的な哲学的限界結果は、理解しようとしている現象について、正しい理論的記述を見つけることはできないというものである。この主張には様々な方法がある。一つの方法は、与えられた主題について、無限に多くの異なる科学理論が存在し、それぞれの理論が有限の経験的データのセットに等しく対応しているということである。有限のデータセットに、さらに有限のデータポイントセットを結合しても、問題は解決しない。新しいデータセットは、古いデータセットに適合していた多くの科学理論を候補から排除するかもしれないが、新しいデータセットに適合する新しい科学理論は無限に存在する。このことから、問題となっている理論が他のどの理論よりもデータによって確認されていることを示す、行き詰まりを解消する唯一の方法は、無限に多くのデータポイントからなるデータセットを構築することであると言える。残念ながら、人間は有限であり、無限のデータセットを集めることも調査することもできない。このような哲学的な限界結果を回避することができないのが、有限性の限界であり、データによる理論の過小決定問題として知られている[2]。

データ解釈上の限界結果

もう一つの密接に関連した哲学的限界結果は、々が観測したデータを理論によって解釈しなければならず、それは解釈者に依存する純粋に主観的な手順であるというものである。このように、我々が持っているデータには2つの依存性がある。それは、我々がデータを解釈するための特定の理論と、データを解釈する特定の人間、つまりデータの解釈者が、自分の持つ特定の理論を通してデータを見ることに依存している。(例えば、ベイズ決定論におけるプライヤーの割り当ては、限りなく主観的な手順であると主張されている)。) このような限定的な結果については、長年にわたって賛否両論が繰り返されてきた哲学的な主張なので、ここでは検討しない。さらに、この種の主張は、ほとんどすべての対象に対して行うことができる。これらは本質的に懐疑的な主張である。懐疑主義は、哲学の内部でも外部でも重要な意味を持っている(理論検証における統計的手法の進歩や、物理的プロセスにおける因果構造の識別における進歩は、懐疑主義に対応しようとしたことが部分的な動機となっていることを考えてみてほしい) [3, 4]。

内在的/外在的および形而上学的/エピステミックな限界的結果

科学における限定的な結果の概念は非常に複雑である。限界結果にはいくつかの側面がある。ここでは、内在的/外在的、形而上学的/エピステミックという4つの可能性を分離するために、2つの区別をする。科学における限界的な結果は、それがその科学における特定の探求領域に関する我々の理論に適用される場合、外在的である。限界的な結果は,神経構造による神経生物学的パラメータの計算など,科学における構造に適用される場合には内在的である[5].外在的な限界的結果は人間が考えた理論に関係し,内在的な限界的結果は神経生物学的構造のような実際の物理的対象に関係する.

一見すると、例えば神経生物学的プロセスに関する正しい理論は、そのような神経生物学的プロセスが行う計算と必ず一致すると考えられる。結局のところ、科学理論とは、自然界で起こっていることを説明しようとする試みなのである。自分の科学理論が正しくても、自然界で起きていることを記述・説明できないのはおかしいだろう。しかし、正しい科学理論であっても、自然界には見られない理想化がなされている場合がある。例えば、統計的熱力学では、無限の粒子を理想化する。熱力学的プロセスにおいて分子レベルで実際に起こっていることを記述すると、理論が言っていることとは全く違ったものになるであろう。

制限のある結果が形而上学的であるのは、制限がある物理的プロセスの本質的な特徴であることを明らかにするときである。コッヘン・スぺッカーの定理は、制限(物理的パラメータの不確定性)が量子力学の本質的な特徴であることを明らかにした[6]。ある物理的プロセスがどのように機能するかについての事実があるにもかかわらず,それを知ることができないことを示す場合,限界的な結果は,認識論的なものとなる.

資源の限界的な結果

科学における数学的限界結果のもう一つの種類は、特定の科学における主張を表す数学的定理の証明が長すぎて人間が実行できないというものである[7-9]。ここでは,例えば集合論における定理の証明の長さに関する数学的な結果がある.このような数学的な限界のある結果が成り立つのは、計算を実行するために必要な資源が有限であるにもかかわらず、人間がその計算資源を持っていないからである。計算が数学的に不可能なのではない。むしろ、数学的には可能なことでも、資源的には非常にコストがかかるのである。例えば、300個の原子文からなる命題論理の文の真理値表を計算するには、真理値表の1行が素粒子に刻まれると仮定すると、既知の宇宙に存在する以上の物質が必要になる。ここでは、人間が科学の分野で行うことが数学的に不可能であることを示す数学的な限界の結果に興味がある。

数学的な限界の結果

私が興味を持っているのは、神経科学において、数学的で、完全に哲学的な性格のものではない限界的な結果があるかどうかである。数学では、次数5以上の任意の多項式方程式をラジカルで解くことは不可能であるというような、よく知られた不可能性の結果がある。これらの結果は、数学者に何ができないかを示す重要なものである。それ以上の問題はない。数学の限界的な結果は、状況が変わっても持続する。数学の不可能性の結果は、神経科学にも当てはまるのであろうか?つまり、例えば、神経科学の分野でのある主張について、「それをすると数学で確立された結果と矛盾するので、原理的に確立できない」という数学的定理はあるのであろうか。なぜなら、そのような結果を確立するためには、現在我々が持っている以上の科学や数学の特徴を持っていなければならないからなのである。さらに、もしそのような特徴付けが完全に形式的なものであれば、限界的な結果の記述そのものが、よく知られたゲーデルの不完全性定理によって制限されてしまうかもしれない。今回検討する数学的不可能性の結果であるゲーデル不完全性定理は、心理学において、人間の認知を計算機的な記述で特徴づけることは数学的に不可能であるという議論に採用されてきた。しかし、これらの議論は、人間の認知について、哲学的にも経験的にも疑わしい前提を置いている。

以下では、ゲーデル不完全性定理が心理学における数学的な限界結果として使えないこと(人間の心が無限の証明木を構築できることが証明されない限り)また同様の理由で、神経科学(および分子生物学、システム生物学、合成生物学)における数学的な限界結果として使えないことが結論的に示されることを論じる。これらの議論を行う前に、ゲーデル定理が神経科学の分野で数学的な限界結果として使えるという主張に「一矢報いたい」と思う。つまり、ゲーデル定理が神経科学における数学的な限界的な結果であると主張する人がどのようにいるかを示す。その上で、ゲーデル定理は神経科学における数学的な極限的な結果としては使えないことを主張する。

ゲーデルの不完全性定理

ゲーデルの不完全性定理は、よく知られた数学的不可能性の結果であるが、その正確な数学的関連性については、現在でも数学界で議論されている。1977年以前、数学者や科学者の間では、ゲーデルが考案した奇妙な自己言及文(それ自体が証明できないことを言っている)は、純粋な数学や科学の分野では応用できないと考えられてた。1977年、ジェフ・パリスとレオ・ハリントンが、無限集合の同次分割に関する有名なラムゼイの定理の有限形を拡張したものが、ピアノ算術では証明できず、その否定もできないことを証明したことで、この状況は変わった[10]。(ピアノ算法とは、19世紀の数学者ピアノが算術を特徴づけるために採用した5つの公理から証明できる算術の真理の集合である。5つの公理の中で最も特徴的なのは、数学的帰納法による証明に用いられる「帰納法の公理」である1)。これは、ピアノ算術の中で証明も反証もできない実際の数学的文章の最初の例である。ParisとHarringtonが採用した手法(Saul Kripkeが履行可能性の方法[11]で一般化した手法)は、数学的文章が真であるPeano算術のモデルと、それが偽である(つまり、その否定が真である)モデルを構築することであったことは注目に値する。これは不完全性定理を得るためのモデル理論的な方法であり、1931年にゲーデルが採用したオリジナルの構文論的な方法とは異なる[12]。歴史的に見ても、この手法の素晴らしさは、一つの数学的文章がピアノ算術の公理から独立していることが示されると、他の多くの数学的文章がそれに続いたことにある。1960年代のforcingの発明が、ZFC(Zermelo-Fraenkel set theory with the a axiom of choice)の公理から独立した集合論の文の多くのデモンストレーションを生み出したという点で、集合論に革命をもたらしたように、Paris-Harrington構成とKripkeによるその一般化は、実務論理学者がPeano算術を扱う方法に革命をもたらした。Peano算術の独立した結果としては、ラムゼイ定理の有限版の他に、一般化されたGoodstein数列、序列図、ダイレーター、グラフマイナーに関する問題、Kruskalの定理の変形などがある(ただし、これらに限定されるものではない)。

ゲーデル文を独立性の結果と呼ぶのは、現役の数学者の領分である数学の分野において、独立性の結果に関する大量の結果(その多くはハーベイ・フリードマン[13]によって定式化されたもの)が存在するからである。これらの独立性の結果は、ゲーデル不完全性定理と同様に、独立性の結果として自然に捉えることができるので、数学的な限界の結果として捉えることができる。また、ゲーデルの不完全性定理は、実務家が担当する数学の分野とは微々たる関係しかないという批判があったとしても、これらの分野に感染する独立性の結果を指摘することで、容易に矛先を逸らすことができる。しかし、以下では、ゲーデルの不完全性定理を用いて、数学的な極限的な結果とその効果的な武装解除の方法を議論する。

ゲーデルの不完全性定理について

ここで、ゲーデルの不完全性定理について簡単に説明しておこう。形式システムとは、公理と推論規則で補強された形式言語のことである(形式言語は、記号の集合と、その記号を使って整形式を構築するための形成規則の集合で構成されており、その形式言語が特定されている)。例えば、最小算術(Peano算術よりも弱い)の文を表現できるだけの豊かな表現力を持ち、証明述語のような様々な種類の関係や性質を(ゲーデル番号付けのような何らかのコード化システムによって)コード化できるだけの構文資源を持つ、一階論理の形式システムが与えられたとする。(ここで、私は算術の様々な強さ、すなわち、Peano、Robinson、および最小算術を区別しない。最小算術は数論のすべてを含んでいるわけではない。最小算術を使う意味は、ゲーデルの無能定理が算術の意外に弱い部分に根を下ろしており、したがって、その弱い部分のすべての拡張にも根を下ろしていることを示すことにある)。そして、形式的なシステムの中で表現できるが、形式的なシステムが一貫している限り、その中では証明できない算術の真理が存在する。これが最初のゲーデルの不完全性定理である。これは、形式システムが完全ではないことを示している。形式システムの完全性とは、形式システムに適切な意味的解釈が与えられたときに形式化される真理のクラスに関連している。(ピアノ算術の形式システムは、ピアノ算術の真理を形式化する。ここで、ピアノ算術の真理を形式化するとは、適切な解釈のもとでその真理を表現する形式的な文を、ピアノ算術の形式システムで証明することである。解釈とは、記号という構文上の対象から、数学的対象などの対象への写像である)。

形式システムの言語がピアノ算術のあらゆる真理を表現するのに適切であり、ピアノ算術のあらゆる真理が形式システムの定理である場合に限り、形式システムはあるクラスの真理(ピアノ算術の真理など)に関して完全であると定義することができる。また、形式システムが一貫していることも要求される。なぜなら、一貫していなければ、形式システムで表現できるものはすべて形式システムで証明可能だからである。(一貫性は様々な方法で定義することができる。単純な一貫性は次のように定義される。形式システムのどの式Fに対しても、その式とその否定(not-F)が証明可能である。この定義は構文的なものである。統語的な定義のポイントは、どのような形式的システムにも適用可能な定義を、そのシステムに課される可能性のある解釈とは無関係に作り出すことである。一貫性という概念の動機は、形式的なシステムでは不条理なものは何も証明できないという考えを捉えることである)。

第1のゲーデル不完全性定理から、形式システムが一貫しているならば、形式システムに関するその事実は、その中では証明できないということになる。この後者の記述がゲーデルの第2不完全性定理である。第1の不完全性定理を述べる方法は他にもある。例えば、最小算術の完全で矛盾のない公理化可能な拡張は存在しない。最後に、第一次証明が登場する形式システムの中では、ゲーデル文もその否定も証明できない。仮に、この形式システムが健全で一貫性があり、決して真実でないことを証明しないとする。そうすると、結局のところ、算術的な真理を証明するために有限性証明だけを使っていては、ゲーデル文やその否定が真であるかどうかはわからないということになる。

不完全性定理と数学の独立性証明との関係は透明である。独立証明とは、ある前提条件のもとではある文が証明できないことを示すものである。(例えば、ユークリッド幾何学の公理からは、平行性の定理は証明できない)。) これは、数学理論のモデルには、その主張が真であるモデルと偽であるモデルがあることを意味する。もし、数学的真理にアクセスできる唯一の方法が証明であるならば、独立であることが証明された文が真であるか偽であるかは、それが証明される公理を仮定できない限りわからないことになる。しかし、その場合、独立した文の真偽の問題は、それを証明するために用いられる公理の真偽の問題に移る。

グレゴリー・チャイティンは,アルゴリズム情報理論という別の枠組みで,算術に十分強い形式システムの不完全性を証明した[14].Chaitinの基本的な考え方は,Peano算術の公理で表現された情報は,算術の真理のすべてを決定するのに十分ではないというものである.情報、計算可能性、プログラムサイズ、ランダム性などの概念を用いている。不完全性現象における数学的確実性の役割について、以下に述べる私の中心的な指摘は、Chaitinの研究にも引き継がれている。そのため、以下の説明では、数学における独立性の結果としてのゲーデル的不完全性の枠組みを使用しているが、これはチャイティンのランダム性、情報、計算不可能性の枠組みよりも好ましいものである。

ハーベイ・フリードマンの線形順序系の決定不可能性に関する研究

ゲーデルの不完全性定理は、神経科学、分子生物学、システム生物学、合成生物学のいずれにおいても表面化するのであろうか?以下のセクションでは、なぜそうなるのかを説明する。ハーヴェイ・フリードマンは最近の論文「Limitations On Our Understanding of the Behavior of Simplified Physical Systems」[15]の中で、Linear Order Systemという抽象的な概念を定義している(これは物理システムの中でチューリングマシンをシミュレートするための独創的な方法です)。ここではフリードマンの結果の一部を引用するだけであるが、線形順序系がどのように構成されているかを述べておこう。空間的な点を整数で識別し、時間的な点を正の整数で識別する。線形秩序系を実現する任意の物理系において、n個の体があり、それぞれの体の位置と時間は次のように与えられる。Bi[t]」、1≦i≦n。「Bi」はi番目の体、「t」は時間、「Bi[t]」はi番目の体の位置を表している。n体の初期設定は簡単に与えられる。ボディの動きは完全に決定論的で、かなり制限されていると仮定する。任意の瞬間に、どのボディも1単位の空間を左に移動するか、1単位の空間を右に移動するか、または現在の位置に留まることができる。(動きとは、単にすべての体の相対的な順序の問題であることに注意してほしい。運動は、2つの異なる瞬間の体の位置を記録することで計算される)。)

フリードマンは、各物体が放射線などの信号を発信し続けていると考えることができると想像している。そうすると、ある体は、その体が発信している信号(つまり放射線)を検出することで、左右の体(あるいは同じ位置にある体)を認識することができる。また、受信した放射線の強さによって、自分のすぐ左にある体と、自分のすぐ左にはない体を区別することができる。このようにして、体は他のすべての体からの相対的な距離を決定することができる。このことから、任意の物体は、n個の物体の相対的な順序を推測する能力を持っていることになる。

フリードマンは、2つの異なる種類の線形順序系に対する限界定理を提供している。一つはアルゴリズム的な決定不可能性定理で、無限のクラスの文を生成し、そのどれもがアルゴリズムによって決定できないものである。もう1つの種類の決定不可能性は、単一の文を生成するもので、ゲーデルの不完全性定理の核心はこの種類の決定不可能性にあると考えられる。どんな単一の文が与えられても、その真理値を決定できるアルゴリズムが必ず存在する。その文が真であれば、それを真とするアルゴリズムは確実に正しいのである。しかし、問題はアルゴリズムが正しいかどうかではなく、アルゴリズムが正しい答えを得るために提供する手順が、単につまらないものではなく、有益なものであるかどうかである。しかし、この違いを明確にすることは必ずしも可能ではなく、また可能であっても常に実現可能とは限らない。そのため、アルゴリズムによる決定可能性の話は、ZFCやPM(The Principia Mathematica of Bertrand Russell and A. N. Whitehead [16])のような形式的なシステムにおける証明可能性の話に置き換えるべきである。線形秩序系に関するフリードマンの限界定理の1つは、物理的な線形秩序系がある初期設定から時間をかけて進化した後、その線形秩序系が有界であることを証明するのは不可能であるというものである[15]。

フリードマンの結果は、神経科学(あるいは分子生物学、システム生物学、合成生物学)にどのような関連性があるのであろうか。各ニューロンが他のすべてのニューロンから信号を送受信し、ニューロンは静止していて、信号は空間を伝搬するという、神経処理の粗いモデルがあるとする。しかし、信号を位置を変える体と考えたらどうであろうか。これは、複雑な脳回路で相互作用する複数の信号をモデル化する方法である。フリードマンの定理とは、ある初期条件を与えると、「信号が(脳のある領域に)束縛されている」という記述は、(ZFCを包含するような強力な推論システムでは)証明も反論もできない、というものである。これは、脳の回路間のグローバルな接続を予測することが数学的に制限されていることを示すものであり、重要な意味を持つ。

この定理の応用例は他にもある。確かに、システムバイオロジーや合成生物学での有用性も考えられる。例えば、遺伝子から何万塩基対も離れているにもかかわらず、DNAの二重らせん状の三次元構造のおかげで空間的には遺伝子に近い位置にあるプロモーターや制御配列による長距離の遺伝子制御など、相互作用する分子の複雑なネットワークの境界に関する主張を証明したり反論したりすることはできないかもしれない。また、タンパク質の機能をモデル化する場合、タンパク質にはいくつかの異なるドメインがあり、それぞれが独自の機能を持ち、細胞内の分子複合体と相互作用する。これらの相互作用の複合体が分子の複雑なシステムである。フリードマンの定理は、サブシステムの境界や複合進化系の境界に関する主張を証明したり反論したりすることができないかもしれないことを教えてくれる。

大脳皮質回路のネットワークモデルは、そのような回路が受ける動的プロセスをモデル化するために使用され、以前の格子モデルよりもはるかに現実的である。例えば、Watts-Strogatzランダムネットワーク[17]やBarabasi-Albertスケールフリーネットワーク[18]は、大規模なニューロン集団間の同期や可塑性の特性など、大脳皮質回路の動的プロセスを扱うことができる新しいクラスのネットワークモデルの代表的な例である。ネットワークの活性化されたノードが表す活動のパターンは、時間とともに変化する。ネットワーク内の活動の分布について数学的な主張がある場合、フリードマンの定理は、ネットワーク内の活性化されたノードの境界条件について証明(または反証)できる内容に制限があることを示している。

ゲーデルの不完全性定理は、有限組合せ論やペアノ算術以外の数学の分野でも生じるか?

神経科学の分野では、さまざまな数学的アプローチが採用されている。そのようなアプローチを使う人たちは、ゲーデルの不完全性定理を気にする必要があるのであろうか?結局のところ、ゲーデルの不完全性定理の対象となる、真ではあるが証明できない記述の種類は、主に有限の組み合わせ論や算術など、かなり限定されたものであるという反論があるかもしれない。神経科学者は、どのような数学を使っても、ゲーデルの不完全性定理を気にする必要はない。

しかし、不完全性という現象が数学全体に浸透していることを示す数学的証拠は、(論理学以外の人が持つ印象とは異なり)数多く存在しているので、この反論は完全に破綻している。ゲーデル的不完全性は独立性の現象したがって、集合論における独立性に関する結果は、この反論に関連している。特に、ハーベイ・フリードマンによる過去20年間のブール関係理論の壮大な発展は、ここでは重要な意味を持っている。なぜなら、有限ブール関係の多くの事例が、さまざまな数学の分野の一部であり、集合論ZFCのシステムでの推論とは独立していることを示しているからである。近未来の数学について、フリードマンは次のように述べている。

“すべての興味深い実質的な数学的定理は、自然な有限セットのステートメントの中の1つとして再構成することができ、それらのすべてはZFCのよく研究された拡張を用いて決定することができるが、それらのすべてはZFC自体の中で決定することはできない。”[19]。

内在的・外在的な限定的結果とゲーデル定理

我々の生物学的プロセスの理論上、その理論で指定されたあるパラメータの値に適用されるゲーデルの極限的な結果があるとする。ここで、生物学的なレベルでは、自然は、その制限を受けない生物学的プロセスに従事することで、ゲーデルの制限結果を回避し、そのパラメータ(生物学的プロセスを支配する)について、ゲーデルの制限を受けない場合に生物学的システムが満たすであろう値にうまく近似するように工夫しているとする。

要するに、自然は芸術的であり、その一つの方法として、限界のある結果を何とか克服するメカニズムを設計することができるということである。その設計が、ゲーデル限界に制約された実際の値に非常に近いものであれば、このプロセスを調査している人間は、それを発見することができない。我々は、生物学的プロセスに関する我々の理論的な主張は証明できない(その主張はゲーデル限界の結果によって制約されているから)と信じ、また、生物学的プロセスも同様に制約されていると信じる。この場合、制限的な結果に惑わされて、自然が実際に行っていることを見逃してしまうことになる。つまり、自然も同様に制限的な結果によって制約されていると信じることで、ゲーデルの制限的な結果によって制約されている自然のプロセスに関する我々の理論的な主張が、その生物学的なプロセスを正確に記述していると錯覚してしまうのである。自分の理論的な主張がゲーデルの制限的な結果によって制約されているという正しい信念から、自分が理論化している生物学的プロセスも同様に制約されていると誤って推論してしまうのである。確かに、生物学的プロセスは、その計算の理論的記述がゲーデル制約を受けているのと同じように、ゲーデル制約を受けている計算を行っていれば、同様に制約を受けている。このような信念を持っているために、自然がこれらの制約を回避していることに気づかないのである。自然はゲーデル制約のある計算をしていないが、我々の理論ではしていることになっている。

ゲーデル不完全性定理の心理学における限界的結果としての利用

ゲーデル不完全性定理を科学の分野で制限的な結果として使用した最初の例は、心理学である[20]。人間の認知が計算上の記述を持たないことを示すために採用された。このような制限が事実であれば、人間の認知が計算上の記述を持っているとする認知科学のプログラムに深刻な支障をきたすことになる。この制限は、機械の計算状態はゲーデルの不完全性定理によってその計算力が制限されているが、人間の認知状態は同様の制限を受けないことを示すことによって成立する。このように、人間の認知状態は機械の計算状態と同一ではない。心理学における限界的な結果として、ゲーデル定理は、人間の認知状態が、それをシミュレートするように設計された機械の計算能力を超えていることを示している。神経科学における限界的な結果として、ゲーデル定理は、人間の神経系が、それを説明し理解するために設計されたいかなる理論(論理で表現されたもの)の力をも凌駕することを示している。

以下では、ゲーデル不完全性定理が心理学における数学的な限界結果としてどのように使われているかを検証し、その目的を達成できていないことを論じた上で、ゲーデル不完全性定理を神経科学(および分子生物学、システム生物学、合成生物学も同様)における限界結果として使うことはできないことを論じる。以下で留意すべき点は、ゲーデル不完全性定理が心理学の限界的な結果として使えない理由の議論が、そのまま神経科学にも引き継がれるということである。

人間の認知は計算機で記述できないという主張

ゲーデルは1951年にアイデアを出していたが[21]、J. R. ルーカスは1961年に論文を発表し[22]、人間の認知が計算記述を持っているという見解を破壊する魔法の弾丸を提案した。彼は、人間の認知を計算機から数学的に区別する方法を提案した。その考え方は簡単である。ある複雑な活動を行うことができる計算機(ここでは、算術の定理を証明することができる)は、ゲーデルの不完全性定理に従う。人間の認識は、それが計算機で記述されていなければ、この定理の対象にはならない。ゲーデルの定理は、人間の認識と計算機の違いを正確に表現する方法である。人間の認識がゲーデル定理の対象とならないならば、(それをシミュレートすると推測される)機械が証明できない算術の真理を証明することができ、算術で証明したものはすべて真であることになる。ゲーデル定理の対象となる機械があれば、その機械が証明できない算術の真理を定式化することは容易である。ルーカスは、人間の認知が計算機による記述では捉えられないことを示すために、巧妙な戦略を立てた。人間の認識はM型の機械であると仮定し、Mのゲーデル文を構築する。この戦略は、任意のMに対しても有効である。したがって、任意のMに対して、人間の認知を捉えるM型の機械は存在しない。計算機機能主義(人間の認識は計算機の記述に取り込まれるという哲学的見解)は否定された。

ゲーデルの定理は、反機能主義の哲学者たちを魅了してきた。反機能主義の哲学者たちは、この定理がメカニズムの誤りを数学的に証明してくれるのではないかと期待している。また、神経科学には根本的な限界があり、それを超えて、分子生物学、システム生物学、合成生物学の目的が達成できないことを示したいと考える人々も魅了している。もし、脳の回路が算術を表現できるほど強力な論理でモデル化できることがわかれば、脳科学のどの理論でも証明できない回路に関する真実が存在することになる。そうなると、人間の認知状態を神経生理学的な状態に還元するというプログラムには、神経生理学的な状態の完全な記述が存在しないため、消し去ることのできない障害が存在することになる。その場合、ゲーデルの不完全性定理は、人間の認知過程について知ることのできる限界を明らかにしたことになる。

同様に、システム生物学においても、証明できない真実があるかもしれない。これは、細胞構造を人工的に作り出すことを目標としているシステム生物学 者にとっては痛手となるであろう。これらの制限的な主張は非常に一般的なものである。神経科学でもシステム生物学でも、成功の可能性を数学的に主張しているので、どのような科学的アプローチでも制約がある。ゲーデル定理が神経科学やシステム生物学に適用されるとしたら、これらのプログラムが成功するかどうか、正当な疑いがある。さらに、もし生体システムが情報を必要としていて、その情報がゲーデル定理の対象となるような計算を行わなければ提供できないとしたら、その制限は単に神経生理学やシステム生物学について人間が科学的に証明できることの制限ではない。それはまた、細胞ができること、つまり細胞がどのように機能するかに対する制限でもある。それは、細胞の本質的な性質を制限するものである。さらには、合成して作ることのできる細胞構造の種類にも制限がある。このように、合成生物学のプロジェクトは、2種類の制限に直面する可能性がある。一つは科学的に証明できるものに対する制限、もう一つはうまく設計できるものに対す る制限である。

ヒラリー・パトナムがゲーデル不完全性定理を心理学の限界的な結果として利用する際の問題点

人間の認知が計算不可能な力を持っているならば、それをシミュレートするための計算装置が証明できない算術の真理を証明することができる。人間の算術的能力の形式的なシステムを推測する。算術の真理の一部が証明できないその形式的なシステムは、一貫していなければならない。一貫していなければ、その形式的システムを物理的に実現する計算装置のゲーデル文は、その形式的システムで証明可能である。なぜなら、無矛盾な形式的システムでは、その中で表現可能なものは何でも証明できるからである。もし人間の認識が、それをシミュレートすると仮定された計算装置のゲーデル文を証明できるなら、その計算装置で物理的に実現される形式システムが一貫していることも証明できなければならない。一貫性がない場合には、その計算装置もゲーデル文を証明することができ、その場合には、人間の認知とそれをシミュレートするための計算装置とを区別する方法がない。その場合、ゲーデル不完全性定理は、心理学の限界的な結果として用いることはできない。

人間の算術能力を表すコンピュータプログラムが、人間には測量できないほど長いとする。プログラムの長さを短くするためのMACROSを作っても、できあがったプログラムがユーザーには全く不透明なものになってしまうので、1050行のコードからなるプログラムを想像することができる。そうであれば、その整合性を人間が証明することはできない。そうなると、人間の算術能力と、それをシミュレートするための計算機とを区別する方法がなくなってしまう。これは、ゲーデル不完全性定理が心理学の限界的な結果ではないことを示すために、ヒラリー・パトナムが採用した考え方である([23])。パトナムの標的はロジャー・ペンローズであり、特に『心の影』[24]で示された心には計算上の記述がないというペンローズの議論の弁護であった。パトナムの議論の難点は、人間の算術能力の計算構造を記述したコンピュータプログラムの長さがわからないことである。探索空間を探索して調べられる数多くの可能性の中の一つではないので、ゲーデルの不完全性定理が心理学の限界的な結果であるという主張に反論することはできない。

1984年、パトナムは、ペンローズの誤りを回避し、ゲーデルの不完全性定理を心理学の限界的な結果として回復すると主張する独創的な議論を提案した。彼の議論が無効であることは、私の著書『ゲーデル、パトナム、機能主義』[20]で詳細に論じられている。後述するように、たとえ算術の真理を表現できるほど強力な形式システムの無矛盾性を人間が証明できたとしても、ゲーデルの不完全性定理を心理学の限界的な結果として用いることはできない。その理由は簡単であるが、心理学における限界的な結果としてのゲーデル定理の役割について意見を述べてきたほとんどの思想家は、その理由を理解していなかった。

ゲーデルの極限的な結果における数学的な確実性の役割

ヒラリー・パトナムをはじめとする哲学者、数学者、認知科学者、神経科学者たちが理解できなかったのは、ゲーデル定理が適用されるかどうかにかかわらず、誰もが数学的な確実性をもってピアノ算術の整合性を有限的に証明できないことを、ゲーデル定理が示しているからである。しかし、数学的な確実性を欠いては、ピアノ算術の一貫性を証明することはできないことは示していない。形式システムの証明関係は、その中で証明されるすべてのものに数学的確実性を与える。このことは、形式システムで何が証明できて、何が証明できないかについてのあらゆる主張を重要な意味で修飾する。有限な存在が証明するものに数学的確実性を得るには、有限な形式システムで証明するしかない。数学では、数学的に確実に証明される結果はほとんどない。なぜなら、有限の形式的システム(一階論理など)で結果を証明する数学者はほとんどいないからである。神でさえも、有限形式システムでゲーデル文を数学的に確実に証明することはできない。ゲーデル文を数学的に確実に証明する唯一の方法は、より強力な有限形式システムを用いるか(その場合、そのシステムでは証明できない新たなゲーデル文が存在することになる)あるいは、無限の証明を構築する無限形式システムを用いるかのいずれかである。後者は神の力の及ぶところであるが、有限の人間の力の及ぶところではない。我々は無限大の証明木を構築することはできない。

つまり、有限な人間は、ゲーデル不完全性定理を使って、人間の認知が持つ証明論的な力が、それをシミュレートするための計算機では捉えられないことを示すことができないのである。一般に、ゲーデル定理が適用される任意の形式システムにおいて、有限の存在は、そこに定義されている証明関係の認識論的モダリティで数学的真理を証明することはできない。ペアノ算術の一階形式システムでは、エピステミックなモダリティが数学的な確実性である証明関係が提供されている。数学的定理証明が形式システムで行われない場合、証明の認識論的モダリティは数学的確実性よりも低い。

科学における証明の基準が数学的確実性であることを要求するならば、ゲーデル定理は、科学において証明できることに制限があることを示している。ゲーデルの不完全性定理は、我々の主張を数学的な確実性をもって証明することを要求する場合には、どこでも制限的な結果となる。これから主張するのは、科学的な証明の基準を緩和すると、計算不可能なものを計算できるようにならない限り、ゲーデルの不完全性定理が科学における限界的な結果であることを示すことはできないということであるもし我々の議論が妥当であれば、神経科学、分子生物学、システム生物学、合成生物学においても、ゲーデル不完全性定理は数学的な限界のある結果ではないことになる。

ゲーデルの不完全性定理が科学における限界的な結果であると主張するすべての議論に対する基本的な論理的問題

いかなる方法(計算手順、形式的な推論システム、科学的方法など)であっても、その結果に数学的な確実性を与えないものを弱いと呼ぶ。2つの異なる可能性がある。どのような種類の推論システムであっても、その結果に数学的な確実性を与えることはできない。我々は、形式的なシステムの中で証明されていない数学の証明を、まさにそうであるとみなしている。数学的確実性は、形式的なシステムにおける証明の認識論的な様相と呼ぶ。第二の可能性は、数学的確実性とは別の認識論的様相を持つ証明関係が代替システムに存在することである。したがって、弱い方法は、数学的確実性よりも小さいか、あるいは数学的確実性に代わる証明関係の認識論的モダリティが何であれ、その証明を与えることができる。

弱肉強食の考え方はやや新しく、数学の哲学者や数学者の両方から抵抗を受けてきた。今日、数学には、実験数学、物理学、そして確率論的推論システムでの証明から得られる重要な結果がある。1970年代初頭、ゲオルク・クライゼル[25]は、第2ゲーデル不完全性定理の対象となる形式システムが、数学的な確信を持って自らの無矛盾性を証明できないという事実から、その無矛盾性を証明する手段が全くないということは論理的には導かれないと指摘した。論理的には、そのシステムにおいて、その一貫性を数学的に確実に証明することはできないということになる。つまり、数学的には数学的な確実性がない状態で(おそらく統計的な推論によって)あるいは非数学的に、数学的な確実性とは別の認識論的な様式で、抽象的な哲学的推論によって(つまり、形式的なシステムにエンコードできない先験的な推論によって)一貫性が証明されるということが残されている。いずれにしても、ゲーデルの不完全性定理は、数学的に確実に証明できることだけを主張しているので、これを回避することになる。

クライゼルの論文が発表された1972年当時、ゲーデルの不完全性定理の影響を受けない方法で、算術の真理を表現するのに十分な強度を持つ形式システムの整合性を証明する方法は、ほとんど知られなかった。クライゼルは、ピアノ算術の整合性(つまり、CON(PA))を数学的に確実ではないが実証するための統計的手法について言及している。彼は、統計的手法がこの課題に対応できるかどうかについて悲観的だった。「さらに詳しく調べてみると,実際には帰納的方法でCON(PA)を確立した経験はほとんどなく,したがって,仮説的な帰納的証拠を評価するのに適した統計的原理についてもほとんど知らないことがわかった。具体的には,その証拠がPMやZFのサブシステムだけでなく全体を支持していることを確認するための統計的な研究がないのである。現在のところ、新形態主義の立場は偽物である。” [25]

クライゼルは、抽象的ではあるが、非数学的な解釈によってCON(PA)を証明する可能性も考えている。つまり,PAのすべての定理が真であるような,ある非数学的なシステムにマッピングされる解釈があるということである.彼は、直観主義の例を挙げている。「直観主義の立場は,数学的なものを直観的に受け入れられるものと同一視し,集合論的な概念を形而上学的なものとみなしているので,形而上学的な非数学的解釈によってCON(PA)を成立させる可能性を残している。[25]

ゲーデルの不完全性定理を回避できるような弱い方法は存在しないという見解をとったとする。すなわち、ゲーデル文を数学的確実性以下で証明する数学的方法がないか、あるいは代替的な認識論的モダリティの証明関係において、その認識論的モダリティを有する証明関係でゲーデル文を証明する方法がないかのいずれかである。そのような弱い方法がないのであれば、ゲーデル定理が神経科学の分野で我々が知り得ることに課している制限は、絶対的なものとなる。それを回避することはできない。さらに、細胞や神経の構造が計算できることに対して、ゲーデル定理が課す制限は絶対的なものである。では、このような視点を示すことは、有限の心を持つ者にとっては、あまりにも高い代償を払うことになると主張する。すなわち、ゲーデル不完全性定理を回避できる弱い方法が存在しないことを確実に証明するためには、論理的複雑さの式M1の問題を解かなければならない。つまり、計算不可能なものを計算しなければならない。しかし、有限の心を持つ存在には、そのような問題を解く能力はない。ゲーデルの不完全性定理を回避する弱い方法がないと主張する人を、神経科学の限界的な結果としてLIM(for: the Gödel incompleteness theorem is limitative results in the neurosciences)と呼ぶことにしよう。

問題の論理的複雑さ

クライゼルが言及している、CON(PA)を数学的確実性未満で証明する可能性や、他の認識論的様式の証明関係で証明する可能性は、LIMでは真剣に考慮しなければならない。それらを考慮に入れないことは、そのような議論における誤りである。それが誤りであるということは、これらの科学における我々の主張の実証には、数学的な確実性が必要ではないということを前提としている。認知科学、神経科学、分子生物学、システム生物学、合成生物学の分野で成功するための条件(つまり、実証が適切であること)が、その主張のすべてが数学的に確実に実証されることであるとすれば、当然、ゲーデル定理によって成功は論理的に不可能であることが示される(ただし、細胞構成要素も、細胞構成要素から作られた生物システムも、人間の頭脳も、無限の証明木を構築することはできないということも示されるはずです)。つまり、これらの科学における十分な証明の基準が数学的な確実性であるとすれば、ゲーデルの不完全性定理はこれらの科学における真の限界的な結果であると言える。

しかし、なぜこのような科学における適切な実証の基準を選ぶ必要があるのであろうか。もし、より厳しい基準ではない十分な実証を選ぶのであれば、成功を示す可能性があるのではないであろうか。つまり、これらの科学における十分な実証の基準がそれほど厳しくない場合には、ゲーデルの不完全性定理はそれらの科学の限界的な結果ではないということである。

ここでは、神経科学が数学的な確実性を必要とする適切な実証の基準を必要としないことを論じない。ここでは、LIMが弱い手法が存在する可能性を考慮してこの誤りを回避しようとすると、有限な存在(または有限な計算プロセス)では解決できない、計算上困難な課題に直面することを示する。この課題を「ディスジャンクション(DISJUNCTION)」と呼ぶ。DISJUNCTION」の構造については後述する。

LIMは次のいずれかを示さなければならない。

  1. 人間の認知を完全に記述する究極のコンピュータプログラム(「C」と呼ぶ)の正しさ、神経科学における理論の正しさ、神経生物学的計算の正しさのいずれかを、数学的確実性以下で数学的に証明する、あるいは他の認識論的様式で非数学的に証明するためのすべての弱い方法は、実際にはゲーデル感受性がある

あるいは

  1. CON(C)を証明するために利用できるゲーデル感受性のない方法があるためにそれができない場合は、それらの方法によってもたらされる証明が認識論的に保証されていないことを示す。

このように、LIMには不穏なジレンマが待ち受けている。

  1. LIMは、Cの正しさを数学的確実性以下で、あるいは他の認識論的様式で証明することができる各可能な方法について、それがゲーデル感受性を持つか、あるいはゲーデル感受性を持たない場合には認識論的に不適切であることを示さなければならない。
  2. このような可能性をすべて列挙しないと、彼女の議論には論理的な誤りが生じることになる。

ここで、DISJUNCTIONが論理的複雑さの等式M2を持つことを論じる。数学的問題の大まかな分類は、計算可能性の観点からである:問題は計算可能か不可能かのどちらかである。計算可能な問題は、有限個の計算資源しか持たないエージェントによって解くことができるが、計算不可能な問題は、解くために無限の計算資源を必要とする。有限エージェントは、オラクルがない場合、計算不可能な問題を解く(つまり解を計算する)ことはできない。計算不可能な問題の中には、他の問題よりも解を算出するのが難しいものがある。再帰理論の重要な研究成果として、再帰的な解けない問題の階層を明確にし、計算不可能な問題に解けなさの度合いを与えている。

ある問題が論理的複雑性方程式M3であるとはどういうことであろうか。まず第一に,エージェントが有限個の計算資源しか持っていない場合には,その問題は解けないということである.第二に、その問題は、述語に対する普遍的な量化詞に続いて、対象物に対する実存的な量化詞が続くという量化構造を持っている。

LIMが弱い方法はないと主張する場合、彼女は無限の計算タスクを計算できなければならない。彼女が無限に多くの資源を持っていれば、そのタスクを完了することができるであろう。そうでなければ、できない。しかし、もし彼女がタスクを完了しないのであれば、彼女の議論は論理的エラーを犯する。したがって、LIMは無限の計算をする能力を持っているか、さもなくば論理的エラーを犯すことになる。しかし、人間は無限の計算能力を持っていない。

DISJUNCTIONが論理的複雑さの式M4を持つことの証明

DISJUNCTIONの最初の接続詞 CON(C)を数学的確実性以下で、あるいは他の認識論的モダリティで証明する方法は何種類あるだろうか。CON(C)を数学的確実性以下で証明するための統計的手法を検討するとする。多くの統計的手法の中には、カルナピアンの測度関数がある[26]。カルナピアン帰納的論理は、無限に多くの値を持ち、異なる論理を区別する注意パラメータを採用しているので、数学的確実性以下でCON(C)を証明するために使用できる無限に多くの異なる方法があることになる。しかし、これは方法の表面をなぞっているに過ぎない。確率論的論理はいくつあるであろうか。ハイブリッドモーダル確率論的論理はいくつあるだろうか?このような手法のリストを簡単に追加していくことができる。

これまでのところ、我々はLIMのために次のような問題を用意している:CON(C)を数学的確実性以下で、あるいは他の認識論的様式で証明するための各方法を見てほしい。それがゲーデルの影響を受けやすいことを示す。無限に多くの適用可能な方法がある場合、それらの各方法を列挙し、ゲーデル感受性があるかどうかをチェックしなければならない。我々は、カーナプの測度関数を用いて、そのような方法が無限にあることを示した。しかし、これにはもう一つの問題がある。ここで、MiはCON(C)を数学的に確実ではない(あるいは他の認識様式で)証明する方法であり、ゲーデル感受性があることが示されている。LIMは、N0もゲーデル感受性があることを検証する必要がある。しかし、たとえそうであっても、CON(N0)を数学的に確実ではない、あるいは他の認識様式で数学的に証明できるプログラムN1が存在する可能性がある。仮にN1がゲーデルの影響を受けやすいことが示されたとする。もしそうならば、数学的な確実性以下、あるいは他の認識様式でCON(N1)を数学的に証明するために使用できるプログラムN2が存在する可能性がある。つまり、我々は、ゲーデルの影響を受けやすいことを示したプログラムや方法Miごとに、無限回帰しているのである。つまり、LIMが現在直面している問題は次のようなものである。数学的な確実性以下、あるいは他のエピステミックな様式でCON(C)を証明するための各方法Miを調べている。それがゲーデル感受性であることを証明してみてほしい。もしそうであれば、CON(Mi)を数学的な確実性以下で、あるいは他の認識様式で証明するための各方法N < i,0 >を見てほしい。それがゲーデルの影響を受けやすいことを証明してみてほしい。もしそうであれば、CON(N < i,0 > )を数学的確実性以下で、あるいは他の認識様式で証明するための各手法N < i,1 > を調べてほしい。それがゲーデル感受性であることを証明してみてほしい。順序付けられたインデックスペア < i,j > のインデックス i が無限になるまで、あるいは N < i,j > がゲーデル不完全性定理によって制限されなくなるまで、この方法を続ける。

ここで、無限後退という現象に対してLIMが提起するであろう反論を考えてみよう。LIMは、このような議論における彼女の弁証法的な状況から、無限後退はないだろうと言っている。LIMに反論する人が方法Nを提案してきたら、LIMがすべきことは、Nがゲーデル感受性を持つことを証明することである。LIMは待ちのゲームをする。LIMは反LIMが方法を提案するのを待ち、そのとき初めてLIMは提案された方法がゲーデル感受性であることを示す必要がある。

この反論は、LIMの弁証法的状況について完全に間違っているので失敗する。LIMは反LIMと待ちのゲームはしない。すべてのLIMの議論は、特定の認識基準に責任がある。それらの議論を弱める可能性があれば、それを検証しなければならない。もし、数学的確実性以下で、あるいは他の認識論的様式でCON(C)を証明する、ゲーデルに影響されない方法やプログラムが存在する可能性があるならば、その弱体化する可能性はLIMによって検証されなければならない。

LIMの方法論上の問題は、否定的な存在の主張を証明しなければならないことである。すなわち、数学的な確実性以下、あるいは他の認識上の様式でCON(C)が正しいことを示すことができるゲーデル・インスセプタブルな手段は存在しないということである。CON(C)を数学的な確実性以下で、あるいは他の認識様式で証明する可能性は無限にあるかもしれないので、その一つ一つを考慮に入れなければならない。もしそうでなければ、否定的存在の主張は失敗する。LIMが否定的存在の主張を証明しない場合、LIMの主張は認識論的に正当化されない。

さらに論理的な複雑さ Cが非常に長く、計算で記述できるかどうかにかかわらず、人間のエージェントが調査できないとする。これは、Cが人間の認知のためのプログラムである場合の明確な可能性であるが、Cが人間の脳の神経生物学的レベルでの正しい記述である場合の明確な可能性でもある。

その場合、Cが何で構成されているかがわからないので、CON(C)を数学的確実性以下で、あるいは他の認識論的様式で証明できるプログラムや方法があるかどうかはわからない。このような状況では、LIMは、Cを数学的確実性未満で、あるいは何らかの別のエピステミックな様式の証明関係で証明する方法があるという可能性を排除することができない。このような状況下では、LIMは制限的テーゼを維持することができない。しかし、LIMに公平を期すために、Cの長さを圧縮して、CON(C)を数学的確実性以下で、あるいは何らかの別のエピステミックな様式の証明関係で証明できる方法があるかどうかを判断できるようにする方法があるかもしれない。これを行う一つの明白な方法は、Cを人間が調査可能なあるプログラムC*に還元することである。(その後、CON(C*)を数学的確実性以下で、あるいは他のエピステミックな様式で証明する方法を検討する)。これを実現する方法は3つある。一つはC*におけるCの相対的な解釈、もう一つはCのC*への翻訳、そして三つ目はCのC*への還元である。解釈、翻訳、還元の間には論理的な違いがあり、それは還元的な証明理論の対象となる。この3つに共通しているのは、CからC*への写像が再帰的であり、否定を保持していることである。後者の条件は、この写像の下で論理的整合性が保たれることを保証している。

CとC*の間の写像は、C*が一貫していることを前提に、一貫性を保持する。Cが一貫していることが前提なので、短くて一貫したC*を見つける必要がある。仮にC*が短くないとする。一貫性のある短いC**が存在する可能性があり、そのC**にC*を縮小・翻訳したり、解釈したりすることができる。一貫性のある短くないC( ∗ n)が存在する各レベルのリダクションでは、次のレベルへのリダクションは、翻訳、リダクション、解釈のいずれかである可能性がある。

ペンローズ[23]が犯した論理的エラーを回避するために、LIMは、Cが実行不可能なほど長いという可能性を考慮し、それをどのように圧縮するかを検討しなければならないだろう。長さωの無限連鎖還元の可能性は、先験的に否定できない見通しである。(還元してもC( ∗ n)の長さは減らないかもしれないので、連鎖の長さはωになるかもしれない)。また、還元的証明理論の方法ではないが、Cを圧縮できる方法もある。例えば、C言語を他のプログラミング言語に翻訳して、MACROSと呼ばれる圧縮装置を利用できるようにしたり、プログラムの圧縮を容易にする高次のプログラミング構成要素を用意したりする。プログラミングシステムは無限にあるので、人間が調査可能なほど短い圧縮C言語を探すためには、無限に多くの可能性を検討する必要がある。また、計算可能性の理論にはスピードアップ定理があり、あるプログラムのスピードアップには再帰的な制限がないことを教えてくれる(スピードアップがある初期プログラムに対して)。

反LIMは、まずLIMに短いCを提示しなければならない。それができたら、LIMはCON(C)を数学的確実性以下で、あるいは別の認識様式で証明する方法やプログラムがあるかどうかを確認することができる。もう一度言うが、LIMは神経科学における限界的結果の弁証法における自分の認識論的状況をひどく誤解している。もし短いCが存在する可能性があるならば、LIMはそれが得られる可能性を調べなければならない。これらの可能性(相対的な解釈可能性など)の多くは行き止まりかもしれないし、無限回帰を生み出すかもしれないし、トレードオフの問題を引き起こすかもしれない。しかし、すべての可能性を完全に探索してみないと、LIMはそれを知ることができない。

可能性の3次元無限ネットワーク 最初に、CON(C)を数学的な確実性以下で、あるいは他の認識論的な様式で証明するために、無限に多くの異なる方法があるかもしれないと述べた。そのような方法のそれぞれについて、LIMはそれがゲーデル感受性を持つことを示さなければならない。

次に、CON(C)を証明し、ゲーデル感受性を示す各方法Miに対して、CON(Mi)を証明する方法Njが存在する可能性があることを指摘した。もしそうなら、LIMはそれがゲーデル感受性であることを示さなければならない。しかし、Gödel susceptible と示された各 Nj に対して、Ni の正しさを証明する N < i,j > があるかもしれず、その場合は Gödel susceptible であることを示さなければならない。その後、C や Mi や Nj や N < i,j > が非常に長い場合、それを圧縮して短い C や短い Mi や短い Nj や短い N < i,j > を得る必要があり、LIM はこれらの方法のそれぞれについて、それがゲーデル感受性であることを示さなければならないことを見ました。
このように、CON(C)を数学的確実性未満で、あるいは他の認識論的モダリティの証明関係で証明する可能性のある方法が無限に存在する。それらの方法Miについて、それがゲーデル感受性であることが示されたならば、次に、CON(Mi)を数学的確実性未満で、または他のエピステミックな様式の証明関係で証明する方法またはプログラムを探す。CON(Mi)を証明する方法をNjと呼ぶ。Niがゲーデル感受性であることが示されたならば、CON(Nj)を証明するN<i,j>が存在する可能性があり、それがゲーデル感受性であることが示されなければならない。明らかに、無限に多くのMiに対して、無限に多くのN < i,j >が存在する。最後に、すべての Mi,Nj, N < i,j > に対して、それぞれが実行不可能なほど長い可能性があるので、それを短いプログラムに圧縮する方法を探さなければならない。しかし、それぞれのMi,Nj, and N < i,j > に対して、圧縮還元の無限のシーケンスRiがあるかもしれない。

三次元的な無限の可能性のネットワークは、{C, Mi}無限列の各要素と(Mi, Nj, N < i,j > )無限列の集合(各Miに付属)の各要素に対して、無限列の集合(Mi, NjN < i,j > , Ri)F(x, y, z)、(Fは問題の証明関係の再帰的述語)の中に無限に長い要素(Ri)がある、という論理形式を持っている。

各要素にぶら下がっている無限列の影響で、(Mi, Nj, N < i,j > の列に対する普遍的な量化詞に続く)実存的な量化詞の範囲の変数は、単位要素に対してではなく、無限に長い要素に対してとなる。その場合には、無限論理か、あるいは2次変数(つまり、述語Fのx、y、z)を束ねる関数量詞が必要になる。後者を選択した場合、問題の論理的複雑さは式M5から式M6にジャンプする。式M7の問題の再帰的解答不可能性は、式M8の問題の再帰的解答不可能性よりもはるかに大きいので、これは重大なジャンプである。

DISJUNCTIONの2番目の接続詞

DISJUNCTIONの第2分離項を思い出してほしい。数学的確実性以下でCON(C)を証明する方法やプログラム、あるいは他の認識論的様式の証明関係において、ゲーデルの影響を受けないことが示された場合、LIMはその方法やプログラムによって提供される証明が認識論的に保証されていないことを示さなければならない。DISJUNCTIONの最初の接続詞で説明された手順によって検査され、ゲーデルの影響を受けないことが判明した各方法やプログラムについて、LIMはそれが認識論的に保証されていないことを示さなければならない。

もちろん、CON(C)を証明する方法は他にもあるかもしれないが、それは数学的確実性未満を与える証明関係でもなく、他の認識論的様相の証明関係でもない。それらの方法がゲーデルに影響されやすいものであれば(どのような種類のモダリティの証明関係への接続が放棄されていることから、それがどのような意味を持つかは別として)LIMの主張はそのまま残る。もしそれらの方法のどれかがゲーデルに影響されないものであれば、それらは一応、LIMの主張を否定することになる。LIMの主張を守る唯一の方法は、ゲーデル不受理の方法が認識論的に保証されていないことをLIMが示すことである。(つまり、それらの方法によってもたらされる証明のすべてが、認識論的に保証されていないのです)。

どんな方法やプログラムでもゲーデルの影響を受けないことが判明するかもしれないので、3次元の無限の可能性のネットワークの中のどの点でも、エピステミックな妥当性をテストする必要があるかもしれない。もちろん、すべての点がゲーデルの影響を受けやすい方法やプログラムを表しているのであれば、ネットワーク内のどの点もテストする必要はないかもしれない。しかし、問題は、反LIMに対して質問をせずに(つまり、LIMに賛成して質問をせずに)ある方法やプログラムが認識論的に妥当でないことをどのようにして示すことができるかということである。我々は、認識論的保証の定義として、LIMに不当に有利なものを選びたくはない。認識論的保証の定義を選択したとすると、その提供に数学的な確実性を与える方法のみが認識論的に保証されることになる。その場合、エピステミックな保証の定義を選択する際に、LIMに有利な質問をしたことになる。

もちろん、認識論的保証の主張を評価するために使用される確率には、明らかな下限がある。ある方法で証明されたことが真である確率が50%であれば、それは認識論的に保証されていないと結論づけることができる。しかし、真の確率が0.5よりも大きい場合はどうすればよいのであろうか。カットオフポイントはどこなのか?ある方法で証明されたことの可能性を示すための十分な統計がない場合はどうすればよいのであろうか?ある方法の認識論的妥当性を評価するためには、どのような認識論的理論を採用すればよいのであろうか?科学の分野で使われる統計的手法に導かれたとしても、その手法は確率の性質について哲学的な前提を置いている。認識論的正当性の様々な解釈のために、認識論の空間を探索するというのはどういうことであろうか?LIMのすべての議論は、数学的な限界の結果を示そうとしているが、すぐに限界の主張を立証するために哲学的な議論を必要とするようになることに注意してほしい。Cの認識論的正当性」という概念を解明するには、哲学的に尊重されなければならず、科学における表向きは「数学的に純粋な」極限的な結果は、哲学的な主張をする必要があるということが容易に理解できる。

認識論的正当性の定義の選択に関するこれらの問題は、まさにLIMにとって重要な問題である。LIMは、可能性の3次元ネットワークの中にあるゲーデルに影響されない方法が、認識論的に保証されていないことを示さなければならない。それを証明できなければ、LIMの議論は解けない。つまり、神経科学(あるいは分子生物学、システム生物学、合成生物学)において限界的な結果を確立するためにゲーデル不完全性定理を使おうとする人は、何をもってCの正しさを認識論的に正当化する基準とするかを、問題を放棄することなく決定する準備ができていなければならないのである。

CON(C)を数学的確実性未満で、あるいは他の認識論的様式の証明関係で証明する方法の認識論的正当性を明らかにすることは、LIMの議論に必要な条件である。三次元的な可能性のネットワークの中で、ある方法がゲーデル・インサスセプタブル(Gödel insusceptible)である場合、その方法が認識論的に保証されていないかどうかを調べなければならない。ある方法がゲーデルに影響されやすい場合、数学的確実性が低いCON(C)の証明や、他の認識論的様式の証明関係が認識論的に保証されているかどうかを評価する必要がある。そこで、神経科学の重要な哲学的プロジェクトとして、「数学的な確実性に満たないCON(C)の証明や、他のエピステミックなモダリティの証明関係にある証明のエピステミックな保証」という概念を解明することにした。

ゲーデル不完全性定理を用いた3つの哲学的限界論証(説明的ギャップ論証、ミステリアン論証、ゾンビ論証)の強化

認知神経科学の目標の一つは、意識を神経生理学的に説明することである。そのためには、意識の神経基盤を解明する必要がある。哲学者たちは、意識の性質や現象とは何か、意識は神経生理学的な状態のような完全に物理的な状態に還元できるのかなど、意識に関するさまざまな問題を検討してきた。一つの議論-Explanatory Gap argument [27]-は、神経生理学から意識がどのようにして生じるのかを説明できないと主張する。もう1つの議論-Mysterian argument [28]は、意識を理解するための正しい概念を持つことはできず、したがって、意識が物理的なものからどのようにして生じるのか、あるいは生じないのかを理解することはできないというものである。3つ目の議論-ゾンビの議論 [29, 30]-は、意識は非物理的なものであるため、いかなる科学によっても記述できないというものである。これら3つの制限的な議論は、哲学的なものである。最初の2つは認識論的なもので、意識が純粋に物理的な基質からどのようにして生じるのかを理解したり説明したりするための適切な概念の武器を我々が手に入れることはできないということを示している。ゾンビの議論は形而上学的なもので、意識は完全に物理的なものではなく、その扱いはどの科学にも従わないため、神経科学の領域外であることを証明しようとしている。(この哲学的な議論が正しければ、意識の数学的な記述が存在しないということではない。)

これらの議論は、ゲーデルの不完全性定理を採用することで、それぞれ強化することができる。意識が神経生理学的な基質に還元可能であるという見解に対する説明的ギャップやミステリアンの議論は、認識論的な議論であるため、意識が脳の状態と同一であることを否定するものではなく、それがどのようにして行われるかを示す手段が原理的に実現できないというだけのことである。ここで、ゲーデルの不完全性定理を使って、この2つの議論を強化する方法を考えてみよう。まず、Explanatory Gapの議論を考えてみよう。これは、意識が完全に物理的なものからどのようにして生じるのかについて、科学的に十分な説明ができないという考え方である。もし、そのような説明スキームの論理的要件がゲーデル定理によって制約されていることが判明すれば、その説明が決して得られない理由ができる。同様に、意識が完全に物理的なものに還元できるかできないかを理解するために必要な概念が、ゲーデル定理によって制約されていることが判明すれば、その概念が人間の理解を超えていることの理由が得られる。いずれの場合も、ゲーデル定理の適用は、これまで文献で議論されてきたさまざまな哲学的前提を置き換えるものであり、したがって、それらの議論を強化することになる。

ゾンビ論はデビッド・チャルマーズが提唱したもので[29, 30]、意識を持たない自分の正確な物理的複製が存在する可能性があるならば、意識は完全に物理的なものではないと主張している。ゲーデルの不完全性定理がゾンビの議論を強化するためにどのように使われるかを説明する。私の正確な物理的複製にも意識がなければならないことを示すには、数学的定理を証明する必要があり、それはゲーデルの不完全性定理によって制約されているとする。そうだとすると、私の物理的な複製が意識を持っていなければならないことを証明できず、したがって、私の物理的な複製が意識を持っていないことはあり得ないことを示すことができない。そうだとすると、私の物理的な複製が意識を持っていない可能性が出てくる。もし、私の物理的複製が意識を持たないことが論理的に不可能であることを示すことができれば、意識を持たない可能性の扉を閉めることができる。

結論

ゲーデルの不完全性定理は、神経科学、分子生物学、システム生物学、合成生物学において、数学的に限界のある結果を提供しているが、それはこれらの科学における実証的な成功の基準が、個々の主張が数学的に確実になされることである場合に限られる。私は、このような要求は認識論的に妥当ではなく、したがって、ゲーデルの不 完全性定理はこれらの科学の成功に数学的な制限を与えるものではないと考える。これは、意識の性質に関する哲学的な議論が、ゲーデル不完全性定理の適用によって強化される場合も同様である。ゲーデル不完全性定理は、数学的に確実に主張することが要求されている場合にのみ、これらの議論に使用することができる。その要求が緩和されれば、定理はこれらの議論の足掛かりを得ることはできない。

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