拙著『A New Kind of Science』を出版してから15、書き始めてから25以上、それに向けて努力し始めてから35年以上経つが、年を追うごとに、この本の本当の意味や重要性が分かってきたような気がしている。この本は、そのタイトル通り、科学の進歩に貢献するために書いたが、年月が経つにつれて、この本に書かれていることの核心は、実は科学をはるかに超えて、私たちの未来全体を決める上でますます重要になる多くの領域にあることに気づかされた。15年の歳月を経て、この本はいったい何だったのだろうか。その核心は、あらゆる可能性の理論の理論、あるいはあらゆる可能性の宇宙の宇宙という、極めて抽象的なものである。しかし、私にとってこの本の成果のひとつは、このような基本的なことを具体的に探るために、プログラムの可能な計算宇宙で実際の実験を行うことができるということに気づいたことだ。その結果、この本には非常に単純なプログラムを実行しただけで得られる、一見すると異質の絵ばかりであることがわかる。1980年当時、理論物理学者として生計を立てていた私は、単純なプログラムで何ができるかと聞かれたら、「たいしたことはできない」と答えたと思う。私は、自然界に見られるような複雑さに非常に興味があったが、典型的な還元主義的な科学者のように、それを理解する鍵は、根本的な構成要素の詳細な特徴を解明することにあるはずだと考えていたのである。今にして思えば、あの時、たまたま私が正しい関心と正しい技術を持ち、ある意味、計算の世界で最も基本的な実験である「可能な限り単純なプログラムのシーケンスを系統立てて実行する」ということを実際にやってみたことは、非常に幸運だったと思う。でも、その面白さがわかるようになるまでには、さらに数年かかった。私の場合、すべては1枚の写真から始まった。
あるいは、現代風に言えば
私はこれを「ルール30」と呼んでいる。私の最も好きな発見で、今では名刺代わりに持ち歩いている。それは何かというと、白と黒のセルの列を操作し、1つの黒いセルからスタートして、下にあるルールを繰り返し適用するという、想像以上にシンプルなプログラムである。そして重要なのは、そのルールがどう見ても極めてシンプルなのに、現れるパターンがそうではないことである。この現象は、非常に単純なプログラムであっても、非常に複雑な振る舞いが容易に得られるという、計算機宇宙の重要かつ全く予想外の特徴である。この現象がどれほど広いものだろうかを理解するのに10年はかかった。ルール30のようなプログラム（「セルラーオートマトン」）で起こるだけではなく、明らかにつまらない振る舞いでないルールやプログラムの可能性を列挙し始めると、基本的にはいつでも現れる。円周率の桁や素数の分布など、似たような現象は何世紀も前からあったのだが、基本的には珍しがられるだけで、何か重要なことの兆候とは思われていなかった。ルール30の現象を初めて見てから35年近く経つが、年を追うごとに、その意味がより明確に、より深く理解できるようになってきた気がする。4世紀前、木星の衛星とその規則性を発見したことが、現代の正確な科学、そして現代の科学的な思考方法の種をまいた。私の小さなルール30は、そのような知的革命、そしてあらゆることに対する新しい思考方法の種になりうるだろうか。パラダイムシフトは大変でありがたい仕事だ。私は長年、技術や自分の考えを発展させるために、このようなアイデアを黙々と使っていた。しかし、計算やAIがますます私たちの世界の中心になるにつれ、計算の世界にあるものの意味をもっと広く理解することが重要だと思うようになった。
計算機宇宙の意味するところ
木星の衛星を観察することで、宇宙は正しく見れば秩序があり、規則正しい場所であり、最終的には理解できるものだと考えていた。しかし、今、計算機宇宙を探求すると、ルール30のように、最も単純なルールでも不可逆的に複雑に見える挙動にすぐに行き当たる。
『A New Kind of Science』の大きなアイデアのひとつに、私が「計算等価性の原理」と呼ぶものがある。最初のステップは、白と黒の正方形で起きていることも、物理学で起きていることも、私たちの脳の中で起きていることも、すべてのプロセスを入力から出力に変換する計算と考えることである。計算等価性原理は、極めて低い閾値を超えると、すべてのプロセスは同等の高度な計算と一致すると言う。
ルール30のようなものは、ハリケーンの流体力学や、これを書いている私の脳内のプロセスよりも、根本的に単純な計算に対応しているかもしれない。しかし、計算等価性原理は、実際にはこれらすべてのものが計算機的に等価であると言っているのだ。
ルール30のようなものが、私たちの脳や数学と同じくらい高度な計算をしているとしたら、私たちがそれを「追い抜く」ことはできない。ルール30が何をするのかを知るためには、そのステップの一つひとつを効果的にトレースしながら、還元できない量の計算をしなければならないからだ。
厳密科学の数学的伝統は、方程式を解くことでシステムの挙動を予測するという考え方を重視していた。しかし、計算の非簡約性が意味するのは、計算機の世界ではそれがうまくいかないことが多く、その代わりにシステムの挙動をシミュレーションするために計算を明示的に実行するしかない、ということだ。
世界観の転換
私が『A New Kind of Science』で取り組んだことのひとつは、シンプルなプログラムが、物理学や生物学などあらゆるシステムの本質的な特徴を表すモデルとして機能することを示したことである。この本が出た当時、これには懐疑的な人もいた。確かに当時は、科学における重大なモデルは数式に基づくべきという300年にわたる絶え間ない伝統があった。
動物の行動パターンやウェブ閲覧の行動など、新しいモデルが作られる場合、数式よりもプログラムに基づくことが圧倒的に多くなっている。
年々、ゆっくりと、ほとんど沈黙のようなプロセスを経ていたが、ここにきて劇的な変化を遂げている。3世紀前、純粋な哲学的推論は数式に取って代わられた。そしてこの数年で、数式はほとんどプログラムに取って代わられた。今のところ、モデルの方がうまく機能し、より有用であるという、実用的なものがほとんどである。
しかし、その基礎を理解しようとすると、数学の定理や微積分のようなものではなく、「計算等価性原理」のような考え方に行き着く。従来の数学的な考え方では、力や運動量などの概念が、世界について語る上で普遍的なものだった。しかし、根本的に計算論的に考えるようになると、決定不能性や計算の非簡約性の概念で語り始める必要があるのである。
ある種の腫瘍は、ある特定のモデルで必ず増殖しなくなるのか？ 決定不可能かもしれない。気象系の発達を調べる方法はあるのか？ 計算不可能かもしれない。
経済学における計算の非簡約性は、グローバルにコントロールできるものを制限し、生物学における計算の非簡約性は、一般的に有効な治療法を制限し、高度に個別化された医療が基本的に必要であることを意味する。
また、「計算等価性原理」のような考え方によって、自然が一見簡単に複雑なものを生み出すことができるのはなぜなのか、決定論的な基本ルールであっても、計算機的に還元できない振る舞いをすることで、現実的には「自由意志」を示しているように見えるのはなぜなのかを議論し始めることができる。
計算の宇宙を掘り起こす
「A New Kind of Science」の中心的な教訓は、計算機宇宙には信じられないほどの豊かさがあるということである。それが重要な理由のひとつは、私たちが「採掘」して目的のために利用できる素晴らしいものがたくさんあることを意味する。
面白いカスタムアートを自動的に作りたいだろうか？ 10年前の音楽サイトWolframTonesのように，簡単なプログラムを見て、好きなものを自動的に選び出すことができる。何かの最適なアルゴリズムを見つけたい？ 世の中のプログラムを十分に検索すれば、見つかるはずだ。
私たちはこれまで、建築図面や設計図、コードなど、人の手によって一歩一歩積み上げていくことでモノをつくっていた。しかし、計算の世界には簡単にアクセスできる豊かなものがたくさんあるという発見が、「何もつくらないで、欲しいものを定義して、計算の世界から探す」というアプローチを提案している。
例えば、見かけのランダム性を発生させたいとする。その場合、セルラーオートマトンを列挙すると（1984年に私が行ったように）、すぐにルール30にたどり着く。これは、見かけのランダム性を発生させる最もよく知られた方法の一つである（例えば、セルの値の中央列を見下ろす）。また、10万件のケースを検索しなければならない場合もあれば（私が論理学の最も単純な公理系や最も単純な普遍的チューリングマシンを見つけたときのように），数百万，数兆件のケースを検索しなければならない場合もある。しかし、この25年間で、計算機の世界に存在するアルゴリズムを発見することだけで信じられないほどの成功を収め、Wolfram言語の実装にはその多くを利用している。
計算の世界にある小さなプログラムを見つけると、それが自分の望むことをするものだということがわかる。しかし、そのプログラムを見てみると、どのように動いているのかがまったくわからない。ある部分を分析して「賢い」と感じることはできるかもしれない。しかし、全体を理解する方法はない。私たちの通常の思考パターンでは、なじみのないものだ。
もちろん、自然界にあるものを使って、ある物質が薬になるとか、触媒になるとか、そういうことはこれまでもよくあった。しかし、工学や現代の技術開発では、デザインや動作を理解できるものを作ることに重きがおかれてきた。
しかし、計算機の世界を探求していくと、そうではないことがわかる。私たちが容易に理解できるものだけを選択すると、計算機の世界に存在する膨大なパワーと豊かさのほとんどを失ってしまうのである。
発見された技術の世界
計算機宇宙からより多くのものを掘り出したら、世界はどうなるのだろう？ 今日、私たちが自分で作る環境は、単純な形や繰り返しのプロセスに支配されている。しかし、計算機宇宙にあるものを使えば使うほど、物事は規則正しく見えなくなる。時には、自然界と同じような「有機的なもの」に見えるかもしれない。しかし、時には、まったくランダムなものであっても、突然、理解できないほど、私たちが認識できるものができあがるかもしれない。
私たちは数千年前から、科学で自然を読み解き、技術で環境を創造することで、この世界で起こることをより深く理解する道を歩んできた。しかし、計算機宇宙の豊かさをより活用するためには、少なくともある程度はこの道を断念する必要があると思う。
しかし、「計算等価性原理」によれば、計算機の世界には、私たちの頭脳や道具と同じように計算できるものがたくさんある。そして、それらを使い始めると、私たちは自分が持っていると思っていた「強み」を失ってしまう。
しかし、計算機の世界では、強力なプログラムのほとんどが計算不可能であるため、そのプログラムの動作を確認するためには、実際に動かしてみて何が起こるかを見るしかない。
私たち生物は、分子レベルで計算が行われている好例であり、計算の非簡約性（医学が難しいのはこのためである）は間違いなく存在する。私たちは、自分たちが理解できるものだけに技術を限定することもできるが、そうすると、計算の世界にある豊かさをすべて見逃してしまうことになる。また、私たちが作る技術では、私たち生物学が成し遂げたことに匹敵することもできないだろう。
機械学習とニューラルネットのルネサンス
知的分野には、何十年、何百年経っても少しずつしか成長しないのに、あるとき突然、方法論の進歩によって、5年ぐらいは「超成長」が続き、毎週のように重要な結果が出るという、よくあるパターンがある。
幸運なことに、私が最初に関わった素粒子物理学の分野は、1970年代後半にちょうど超成長期を迎えていた。そして私自身、1990年代は、「A New Kind of Science」となった分野の超成長期のように感じ、それゆえに10年以上もこの分野から離れることができなかったのだと思う。
しかし今日、超成長しているのは明らかに機械学習、もっと言えばニューラルネットの分野である。これを見るのは面白い。私は1981年にニューラルネットに取り組んだ。セル・オートマトンを始める前、ルール30を見つける数年前である。しかしニューラルネットに何か面白いことをさせることはできなかった。私が懸念していた基本的質問には、あまりにも厄介で複雑だと感じた。
当初は、単純化しすぎて、こんな小さなセルオートマトンでは面白いことはできないだろうと思っていた。しかし、ルール30のようなものを発見し、それ以来、その意味を理解しようと努力している。
MathematicaとWolfram言語を構築する際，私は常にニューラルネットを追跡していたし、時々何かのアルゴリズムに少し使うこともあった。しかし5年ほど前に突然，ニューラルネットを訓練して高度なことをさせるというアイデアが実際に機能しているという驚くべきことを聞き始めた。最初はよく分からなかった。しかし、その後、Wolfram Languageでニューラルネットの機能を構築し始め、ついに2年前にImageIdentify.comのウェブサイトを公開した。そして、私は感動した。従来は人間だけの領域と考えられていた仕事が、今ではコンピュータで日常的にできるようになったのだろうから。
しかし、ニューラルネットでは実際に何が行われているのだろうか？ 脳とはあまり関係がなく、それはインスピレーションに過ぎない（実際には脳も多かれ少なかれ同じように働いているだろうが）。ニューラルネットは、数字の配列上で動作する一連の関数で、各関数は配列の周囲から非常に多くの入力を受けるのが普通である。ただし、セルオートマトンでは、0.735のような任意の数字ではなく、例えば0と1だけを扱う。また、セルオートマトンでは、あちこちから入力を受けるのではなく、各ステップは非常によく定義された局所領域からしか入力されない。
しかし、セル・オートマトンのように規則的な入力パターンを持つ「畳み込みニューラルネット」の研究はよく行われている。また、ニューラルネットの演算には、32ビットなどの正確な数値が不可欠ではなく、数ビットで十分なことが分かってきている。
特に、ニューラルネットは伝統的な数学の特徴（連続した数を扱うなど）を十分に備えているので、微積分のような技術を応用して、与えられた訓練例に「行動を合わせる」ためにパラメータを段階的に変化させる戦略を提供することができる。
しかし、5年ほど前のブレークスルーは、多くの重要な実用問題では、最新のGPUと最新のWeb収集されたトレーニングセットで十分であることがわかったことだった。
ニューラルネットのパラメータを明示的に設定したり、「エンジニアリング」する人はほとんどいない。むしろ、パラメータは自動的に見つかる。しかし、セルラーオートマトンのような単純なプログラムでは、すべての可能性を列挙するのが普通であるが、現在のニューラルネットでは、生物進化が生物の「フィットネス」を徐々に向上させるのと同じように、微積分をベースにした漸増プロセスがあり、ネットを徐々に向上させることに成功する。
しかし、ある意味でニューラルネットは、計算の世界を飛び越えているわけではなく、基本的にはいつも同じ計算構造を保ち、パラメータを変えることで振る舞いを変えているに過ぎない。
しかし、私にとって今日のニューラルネットの成功は、計算の世界の力を見事に裏付けるものであり、『A New Kind of Science』の考えをさらに裏付けるものである。なぜなら、計算の世界では、詳細な動作を予見できるシステムを明示的に構築するという制約から離れれば、すぐにあらゆる種類の豊かで有用なものが見つかるということを示すからだ。
NKSと現代の機械学習との出会い
計算の世界や『A New Kind of Science』の考え方を、ニューラルネットで行うようなことに生かす方法はないのだろうか？ そう思う。そして、その詳細が明らかになるにつれ、計算の世界の探求が独自の超成長期を迎えても不思議ではない。
ニューラルネットの内部で起こっていることが、基本的に算術的なパラメータを持つ単純な数学関数のようであればあるほど、微積分の考え方を用いてネットワークを訓練することが容易になる。しかし、起こっていることが離散プログラム、つまり全体の構造が変わりうる計算のようであればあるほど、ネットワークの訓練が難しくなる。
しかし、現在日常的に学習しているネットワークは、ほんの数年前までは全く実用的でなかったと思われる。学習を可能にするのは、事実上、問題に投入できる4兆個のGPU演算である。また、ごくありふれた技術（例えば局所網羅的探索）でも、漸進的数値アプローチが不可能なケースでも、かなりの確率で学習を行うことができるようになっても不思議はないだろう。また、微積分のような、計算機の全宇宙で動作するような大きな一般化を発明することもできるかもしれない。（私は、幾何学の基本概念を一般化して、セルラーオートマトンのルール空間のようなものをカバーしようと考えたことから、少し疑っている）。
その結果、特定の計算目標を達成できる、よりシンプルなシステムを見つけることができるかもしれない。そして、脳のようなもので可能だと思われていることを超える、質的に新しいレベルのオペレーションを実現できるかもしれない。
ニューラルネットが成功するにつれて、「ニューラルネットでブラックボックス化した出力モデルを作ればいいのに、なぜわざわざシステム内部で起こっていることをシミュレーションするのだろう」と思うようになった。しかし、機械学習が計算の世界の奥深くまで到達できるようになれば、出力だけでなくメカニズムのモデルも学習できるので、このトレードオフがあまり気にならないだろう。
しかし、計算機的普遍性と計算等価性原理が、この問題を原理的な問題ではなくしていることを理解する必要がある。なぜなら、これらの原理は、現在ある種類のニューラルネットでさえも普遍的であり、他のどんなシステムでもエミュレートできることを示唆しているからである（実際、この普遍性の結果は、1943年にニューラルネットという現代の考え方全体を立ち上げた本質的なものだった）。
また、現実問題として、現在のニューラルネットのプリミティブがハードウェアに組み込まれるなどしていることから、最適とは言えないまでも、実際の技術システムの基盤として望ましいと思う。しかし、私の推測では、当分の間は、漠然とでも実用化するには、計算機の全宇宙へのアクセスが必要となるタスクがあるのではないかと思う。
ファインディングAI
人工知能を作るには何が必要か？ 子供の頃，私はコンピュータに物事を理解させ、その知識から質問に答えることができるようにする方法を考えることにとても興味があった。1981年にニューラルネットを学んだとき、そのようなシステムを作る方法を理解しようとする文脈もあったのである。偶然にも、私はMathematica（最終的にはWolfram言語）の前身であるSMPを開発したばかりだった。当時の私は、人工知能は「より高度な計算」であると想像していたが、それをどのように実現すればよいのかは分からなかった。
しかし、『A New Kind of Science』を執筆しているときに、「計算等価性原理」を真に受けるなら、根本的に「より高度な計算」はありえない、つまり、私がすでに知っている標準的な計算の考え方だけでAIは実現できるはずだと思い至った。
このことに気づいたからこそ私はWolfram|Alphaを作り始めたのだ。そして私が見つけたのは自然言語理解のような「AI指向のもの」の多くは 「普通の計算」だけで行えるということだ。魔法のように新しいAIを発明しなくてもね。さて公正に言うと何が起きていたかというと「A New Kind of Science」のアイデアや方法を私たちが使っていたからです私たちはただ全てをエンジニアリングしていたのではなく使うべきルールやアルゴリズムを計算機の宇宙から探していたこともあった。
では、「一般的なAI」はどうかというと、今のところ、道具と理解があれば、定義できるものは基本的に何でも自動化できる状態にあると思う。しかし、定義は想像以上に難しく、中心的な問題である。
私が思うに、計算の世界には、手近なところにもたくさんの計算がある。そして、それは強力な計算である。私たちの脳の中で起こるものと同じくらい強力である。しかし、それが人間の目標や目的に沿っていない限り、私たちはそれを「知性」として認識しない。
私は『A New Kind of Science』を書いているときから、「天気には心がある」という格言を好んで引用していた。アニミズム的で前科学的に聞こえる。しかし、「計算等価性原理」は、最新の科学によれば、実はそれが真実であると言っている。天気の流体力学は、私たちの脳の中で起こっている電気プロセスと同じ計算精度で作られている。
「A New Kind of Science」やAIの話をすると、「機械の『意識』はいつ実現するのか」と聞かれることがある。生命、知能、意識、これらはすべて地球上に具体例がある概念である。しかし、それはRNAや細胞膜の構造など、地球上のすべての生命に共通するものであり、生命という概念の根幹に関わるものではない。
しかし、私たちが経験する人間の知能は、人間の文明、文化、そして究極的には人間の生理学と深く関わっているのである。
私たちは地球外知的生命体について考えるかもしれない。しかし、「計算等価性原理」が示唆するのは、実は私たちの周りには「宇宙人の知性」が存在するということである。しかし、それは人間の知性とは全く一致さない。例えば、ルール30を見ると、私たちの脳と同じように高度な計算をしていることがわかる。しかし、それが何をしているかには「ポイント」がないようだ。
私たち人間は、ある目的や目標を持って行動していると想像しているが、例えばルール30は、ある明確なルールに従って行動しているようにしか見えない。しかし、結局のところ、私たちはそれほど大きな違いはないことに気づく。なぜなら、私たちの脳には明確な自然の法則があり、私たちの行動は、あるレベルでその法則に従っているに過ぎないのだろうから。
どんなプロセスも、実はメカニズム（「石はニュートンの法則に従って動いている」）かゴール（「石は位置エネルギーを最小にするように動いている」）のどちらかで説明することができる。通常、科学と結びつけるにはメカニズムでの説明が最も有効だが、人間の知能と結びつけるにはゴールでの説明が最も有効だ。
そして、これはAIを考える上で非常に重要なことなのだが、計算機による演算は非常に高度なものだが、それを人間の目的や目標に沿った形で実行させることはできるのだろうか。
ある意味、これが私が考えるAIの重要な問題であり、根本的な計算の高度化ではなく、その計算に何を求めるかを伝えることなのである。
言語の重要性
私は人生の大半をコンピュータの言語設計者として過ごしていた。特に、現在のWolfram Languageを開発することが重要だった。言語設計者としての私の役割は、人々がやりたいと思うであろう計算を想像し、還元主義の科学者のように、すべての計算を構築するための優れたプリミティブを「掘り下げる」ことにあると考えていた。しかし、「A New Kind of Science」とAIについて考えるうちに、私は少し違った考え方に変わっていた。
私は、人間の思考パターンと、計算機でできることの橋渡しをするのが仕事だと思っている。計算機でできることは、原理的にはいろいろと素晴らしいものがある。しかし、言語がすることは、人間がやりたいこと、達成したいことを表現し、それをできるだけ自動的に実行させる方法を提供することである。
Wolfram言語では、内蔵されたプリミティブに英単語を付け、その英単語が持つ意味を利用している。しかし、Wolfram言語は自然言語とは異なる。人間の知識として共有されている言葉や概念をベースにしているが、任意の複雑な目標を表現する任意の高度なプログラムを構築することができる。
確かに計算の世界は驚くべきことができるが、それは必ずしも私たち人間が表現できるものではない。しかし、Wolfram言語を作るにあたって、私は人間が求めるものをすべて取り込み、それを実行可能な計算用語で表現できるよう、できる限りの努力をすることを目標としている。
計算の世界に目を向けると、私たちが記述したり考えたりできることの限界に驚かされる。現代のニューラルネットは興味深い例だ。Wolfram LanguageのImageIdentify機能では、ニューラルネットを訓練して世界の何千もの種類のものを識別できるようにしている。人間の目的に合わせるために、このネットワークが最終的に行うことは、見たものをテーブル，椅子，象など言葉で名付けられる概念の観点から記述することなのである。
しかし、実際には、ネットワークが行っているのは、世界中のあらゆる物体の一連の特徴を識別することである。緑か、丸いか、などである。そして、ニューラルネットワークが訓練されるにつれて、世界のさまざまな種類のものを区別するのに役立つ特徴を識別するようになる。しかし、ポイントは、これらの特徴のほとんどすべてが、人間の言葉でたまたま割り当てられたものであるということである。
計算機の世界では、非常に便利な表現方法を見つけることができる。しかし、それは私たち人間にとっては異質なもので、私たちの文明が培ってきた知識のコーパスに基づいて表現できるものではない。
もちろん、人間の知識には常に新しい概念が加わっている。1世紀前なら、入れ子模様を見ても、それを表現する方法はなかった。しかし、今は「フラクタルだ」と言うだけだ。しかし、問題は、計算機の世界には「潜在的に役立つ概念」が無限にあり、それに最終的に追いつくことは不可能であることだ。
数学における相似形
私は『A New Kind of Science』を書いたとき、少なくとも科学の基礎として数学を使うことから脱却するための努力だと考えていた。しかし、この本の考え方は、純粋数学そのものにも多くの示唆を与えていることに気づかされた。
数学とは、数字や幾何学に基づく、ある種の抽象的なシステムの研究である。ある意味、あらゆる抽象的なシステムの計算宇宙のほんの一角を探求しているのである。それでも、数学では多くのことが行われていた。実際、数学の300万ほどの定理は、私たちの種が構築した最大のまとまった知的構造であると言える。
ユークリッド以来、数学はある公理（a+b=b +a、a+ 0=aなど）から出発し、定理を導いていくものだと考えられてきた。なぜ数学は難しいのか。その答えは、計算の非簡約性という現象に根本的に根ざしていて、定理を導くための一連の手順を短縮する方法が一般的に存在しないことを表している。しかし、ゲーデルの定理が示したように、公理から証明したり反証したりする有限の方法がない数学的記述もある。そのような場合は、「決定不能」と見なさざるを得ない。
ある意味で、数学の驚くべき点は、それを有用に行えるということである。なぜなら、気になる数学の結果のほとんどは、決定不可能である可能性があるからだ。では、なぜそうならないのだろうか。
典型的なセルラーオートマトンやチューリングマシンを例にとると、「初期状態にかかわらず、常に周期的な振る舞いに落ち着く」というのは本当なのだろうか。そんな単純なことでも、しばしば決定不能になる。
数学ではなぜそうならないのだろうか？ 数学で使われる特定の公理に何か特別なものがあるのかもしれない。確かに、科学や世界を独自に記述するための公理だと考えれば、その理由はあるかもしれない。しかし、この本の全体のポイントの1つは、実際には、科学や世界を記述するために役立つ可能なルールの全計算宇宙が存在することである。
実際、数学で伝統的に使われてきた特定の公理には、抽象的な特別さはないと思う。それは歴史の偶然に過ぎないと思う。
数学の定理については、歴史的な意味合いが強いと思う。数学の最も些細な分野以外は、すべて決定不能の海が広がっている。しかし、数学は定理が実際に証明できる島を選び、特に決定不能の海の近くにある、非常に苦労しないと証明できない場所を誇りにしている。
私は数学の定理発表のネットワークに興味があるのだが（歴史上の戦争や化学物質の性質のようにキュレーションするものである）、その中で気になるのは、数学が行われる順番は必ずあるのか、ある意味、ランダムに選ばれているのか、ということである。
ここで、先ほどの言語の話とかなり類似していると思う。証明とは何か？ 基本的には、あるものがなぜ正しいのかを誰かに説明する方法である。私は、何百ものステップがあり、それぞれがコンピュータで完全に検証可能な自動証明を作った。しかし、ニューラルネットの内部のように、何が起こっているかは人間には理解できないエイリアンのようだ。
人間が理解するためには、身近な「概念の道しるべ」が必要である。それは言語の「言葉」と同じで、証明のある部分に「スミスの定理」という名前がついていて、意味がわかっていれば、人間にとって便利である。しかし、それが単なる未分化な計算の塊であれば、人間にとって意味はないだろう。
どんな公理系でも、可能な定理は無限にある。でも、どれが「面白い」のか。それは人間の問題で、基本的には「物語」のあるものに行き着く。この本では、基本論理というシンプルなケースで、歴史的に名前をつけられるほど面白いとされてきた定理は、まさにある意味で最小限の定理であることを示す。
しかし、私の推測では、より豊かな公理系では、「面白い」と思われるものは、すでに面白いと思われているものから到達しなければならないと思う。言葉や概念の構築と同じで、既存のものと直接関連付けることができなければ、新しいものを導入することはできないのだろうから。
近年、数学のような分野では、進歩が不可避なのか、そうでないのか、ということをよく考える。算術から代数、現代数学の高みへ、というような歴史的な道は一つなのだろうか。それとも、数学には、まったく異なる歴史を持つ、無限の多様な道があり得るのだろうか。
その答えは、ある意味で「メタ数学的空間の構造」に依存することになる。決定不能の海を回避する真の定理のネットワークとは何だろうか。数学の分野によって異なるかもしれないし、あるものはより「不可避」（数学が「発見」されているように感じる）、他のものは（数学が任意で、「発明」されているように感じる）だろう。
このような共通点があるからこそ、『 A New Kind of Science』の考え方がいかに強力で一般的なものだろうかを実感することができる。
科学はいつあるのか？
科学の分野には、物理学や天文学のように伝統的な数学的アプローチがうまくいっているものもあれば、生物学や社会科学、言語学のように、数学的アプローチがあまり役に立たないものもある。私が長年信じてきたことのひとつは、これらの分野で進歩するためには、使っているモデルの種類を一般化し、計算機宇宙に存在するものをより広く考慮する必要があるということである。
例えば、生物系や社会系などでは、簡単なプログラムでモデルが構築できるようになっている。
しかし、「解ける」可能性のある数学モデルとは異なり、これらの計算モデルはしばしば計算の非簡約性を示し、一般的には明示的なシミュレーションを行うことで利用される。これは、特定の予測を行ったり、モデルを技術に応用したりするには完全に成功する。しかし、数学の定理の自動証明のように、「これは本当に科学なのか」と問われることもある。
あるシステムが何をするのかをシミュレーションすることはできるが、それを「理解」することはできるのだろうか？ 問題は、計算の非簡約性が、ある基本的な意味において、常に物事を「理解」できないことを意味していることである。語れる有用な「物語」はなく、「概念の道筋」はなく、ただ詳細な計算がたくさんあるだけかもしれない。
言語学の大きな目標のひとつである「脳が言語を理解する仕組み」を科学しようとするとき、ニューロンの発火を決定する正確なルールや、その他の脳の低レベル表現について、適切なモデルが得られるかもしれない。そして、ある文のコレクション全体を理解する際に生じるパターンを調べる。
では、そのパターンがルール30の挙動に似ているとしたらどうだろう。もっと身近なところでは、リカレントニューラルネットワークの内部かもしれない。このような現象を「物語る」ことはできるだろうか。そのためには、ある種の高度な記号表現を作る必要がある。つまり、起こっていることの中核となる要素を効果的に表現する言葉を作るのである。
しかし、計算の非簡約性は、最終的にそのようなものを作る方法がないことを意味する。確かに、計算の非簡約性のパッチを見つけて、そこでいくつかのことを語ることは可能だろう。しかし、語ることのできる完全なストーリーはないだろう。しかし、それは、タイトルにあるように、A New Kind of Scienceを扱うときに起こることのひとつなのである。
AIを制御する
近年、AIが人間よりずっと賢くなったらどうなるんだろうと心配されているが、「計算等価性原理」を使えば、AIは決して「賢くなる」ことはなく、人間の脳や、あらゆる単純なプログラムと同じような計算ができるようになる。
そして、医療機器や中央銀行、交通システムなど、世の中のさまざまなことをAIが代行するようになるに違いない。
計算機の世界を本格的に活用するようになると、AIが何をするかということを一行一行で説明することはできない。むしろ、AIに目標を設定し、その目標を達成するためにどうすればいいかを考えさせる必要がある。
「グラフを描く」「データを分類する」など、やりたいことを記述する高度な関数があり、それを実行するための最適な方法を言語が自動的に見つけ出すというのは、ある意味、Wolfram Languageで何年も前からやっていることなのである。
例えば、「きれいなカーペットの模様」を作るセルオートマトンを探したいとか、「優れたエッジ検出器」を探したいとか。でも、それは一体どういう意味なのか。それを人間ができるだけ正確に表現できる言語が必要なのだ。
これは、私がここで何度も話しているのと同じ問題だ。人間が気になることを話せるようにする方法が必要だ。計算機の宇宙には無限の詳細がある。しかし、私たちの文明と共通の文化史を通じて、私たちは自分たちにとって重要なある概念を特定するようになった。私たちが目標を述べるときは、その概念の観点から行う。
300年前、ライプニッツは人間の思考や言説の内容を正確に表現する記号的な方法を見つけることに興味を持った。彼はあまりにも早すぎた。しかし今、私たちはようやくこれを実際に実現する立場にあると思う。実際、Wolfram言語によって、世の中の現実的な事柄を記述することができるようになった。そして、私たちが気になる事柄について話すことができる、かなり完全な「記号的談話言語」を構築することができるようになることを期待している。
現在、法的な契約は、自然言語より少し正確な「法律用語」で書かれているが、記号的な談話言語があれば、「こうなってほしい」ということを高度に記述した真の「計算契約」を書くことができ、それを機械が自動的に検証・実行することができるようになるのである。
しかし、AIはどうだろうか？ 私たちは、AIに何をしてほしいかを伝える必要がある。AIとの契約が必要だ。あるいは、AIの憲法が必要かもしれない。それは、私たち人間が望むことを表現でき、AIが実行できる、ある種の記号的言説言語で書かれたものだろう。
AI憲法には何が必要なのか、また、その制定が世界の政治的・文化的景観にどのようにマッピングされるのかについて、多くのことが語られている。しかし、当然の疑問として、憲法はアシモフの「ロボットの法則」のようにシンプルであっていいのか、ということが挙げられる。
ある意味、憲法は、世の中で起こりうることと起こりえないことの区別をつけようとするものであるが、計算の非簡約性によって、考慮すべきケースは無限にある。
計算の非簡約性のような理論的な考え方が、現実的で社会の中心的な問題にまで影響を及ぼすというのは、私にとっては興味深いことだ。最初は「万能説」のような疑問から始まったが、最終的には社会の誰もが関心を持つような問題になっていくのだろう。
そこには無限のフロンティアがある
私たちは、あるいは私たちのAIは、発明されるべきものをすべて発明してしまうのだろうか？
数学であれば、定理が無限にあり、科学であれば、細かい疑問が無限にあり、発明が無限にある。
しかし、本当の問題は、常に面白い新しいものが出てくるかどうかということだ。
計算機的還元性とは、すでにあるものから到達するために還元不可能な量の計算を必要とする新しいものが常に存在するということである。つまり、ある意味で、以前のものからすぐに明らかにならない「驚き」が常に存在するのだ。
それとも、人間が面白いと思うような、根本的な新機能が現れるのだろうか？
人間が物事を「面白い」と感じるためには、それを考えるための概念的な枠組みが必要だ。セル・オートマトンの中に「永続的な構造」があれば、「構造間の衝突」について語ることができるかもしれない。しかし、ただいろいろなことが起こっているのを見ても、それを語るための高度な記号的方法がなければ、「面白い」とは思えないだろう。
ある意味、「面白い発見」のスピードは、計算機宇宙に出かけていって発見する能力ではなく、発見したものを概念的に構築する人間の能力によって制限される。
これは、「A New Kind of Science」の開発で起こったことに似ている。人々は、何世紀も前から関連する現象（素数の分布、円周率の桁など）を見ていたが、概念的な枠組みがなければ「面白い」とは思えず、何も作らなかった。そして、計算機の宇宙にあるもの、あるいは昔そこで見たものについても理解を深めるうちに、さらに先へ進めるような概念の枠組みを徐々に構築していくのである。
ところで、発明は発見とは少し違うということを理解しておいてほしい。計算機の世界で何か新しいことが起こるのを見るのは発見かもしれない。しかし、発明は計算機の世界で何かを実現する方法を考え出すことである。
また、特許法でもそうだが、「これはこういうことができる」というだけでは発明とは言えず、それが達成する目的を理解する必要がある。
従来は、「電球のフィラメントを見つける」など、実際に動作させることに主眼が置かれがちだったが、計算機の世界では、「何をさせたいか」ということに重点が置かれる。なぜなら、目的を説明すれば、それを実現する方法を見つけることは、自動化できることだからだ。
例えば、ある化学物質が相互作用する正確な法則が分かっているとして、ある特定の化学構造を得るための化学合成経路を見つけることができるだろうか。しかし、計算の非簡約性とは、その経路の長さを調べる方法がないことを意味する。また、経路を見つけられなかった場合、それが経路がないためなのか、それともまだ到達していないためなのかを確かめることができないかもしれない。
物理学の基礎理論
科学の最先端を目指すとなると、物理学の基礎理論に思いを馳せずにはいられない。計算機宇宙で見てきたことを考えると、私たちの物理的な宇宙は、計算機宇宙に存在するプログラムのひとつに対応している可能性があるのでは？
しかし、『A New Kind of Science 』が出版されて以来、私はその可能性をより楽観視するようになった。
一般相対性理論と場の量子論である。一般相対性理論は100年ちょっと、場の量子論は90年ぐらいの歴史があり、どちらも素晴らしい成果を上げている。しかし、どちらも物理学の完全な基礎理論を提供することには成功していない。今さらであるが、新しいことに挑戦する価値はあると思うね。
しかし、もうひとつ、計算の世界を実際に探索することで、非常に単純なモデルでも何が可能かについて、膨大な量の新しい直感を得ることができた。これまで、物理学に存在するような豊かさは、非常に精巧な基礎モデルが必要だと考えられていた。しかし、非常に単純な基礎モデルでも、その豊かさは完全に出現することが明らかになっている。
ここで詳しく説明するつもりはないが、モデルとして最も重要なことは、できるだけ作り込まないことだと思う。宇宙の成り立ちがわかったと思い上がるのではなく、できるだけ構造化されていない一般的なモデルを用意し、計算機の世界でよくやるように、欲しいものを実現するプログラムを探せばいい。
私が好きなのは、できるだけ非構造的なモデルとして、ノードとノード間の接続の集合体であるネットワークである。このようなモデルを代数的な構造として定式化することは完全に可能であるし、おそらく他の多くの種類のものも可能だろう。私が想像しているのは、ネットワークは空間と時間の「下」にあるもので、空間と時間のあらゆる側面は、ネットワークの実際の振る舞いから生まれてくるということである。
この10年ほどの間に、ループ量子重力やスピンネットワークといったものに注目が集まっている。これらは、私が行ってきたことと同じように、ネットワークが関係しているし、もっと深い関係があるのかもしれない。しかし、通常の定式化では、これらはより数学的に精巧なものである。
物理学の伝統的な手法からすれば、それは良いアイデアかもしれないが、計算機宇宙を研究し、それを科学技術に利用するという直感からすれば、全く必要ないように思える。確かに物理学の基礎理論はまだわかっていないが、最も単純な仮説から始めるのが賢明である。それは、私が研究したような単純ネットワークに間違いないだろう。
最初は、伝統的な理論物理学を学んだ人たち（私も含めて）には、かなり異質なものに見えるだろう。しかし、見えてくるものの中には、それほど異質ではないものもある。私が20年近く前に発見した大きな成果は、私が研究したような大規模なネットワークを見ると、その平均的な挙動がアインシュタインの重力方程式に従うことを示すことができるというものである。つまり、基礎となるモデルに派手な物理学を入れなくても、結局は自動的に現れる。これはとてもエキサイティングだと思う。
量子力学についてよく聞かれるのであるが、私のモデルは量子力学を組み込んでいない（一般相対性理論を組み込んでいないのと同じである）。「量子力学的である」ということの本質を正確に突き止めるのは少し難しいのであるが、私の単純なネットワークが、私たちが知っている物理学と同様に、実際に量子挙動と言えるようなものを示す、非常に示唆的な兆候がいくつか見られる。
では、もし物理学の基礎理論が計算機上で可能なプログラム群の中にあるのなら、実際にそれを見つけるにはどうしたらよいのだろうか？ 当然のことであるが、一番簡単なプログラムから探し始めることだ。
この15年ほど、散発的ではあるが、このような活動を続けていた。これまでの主な発見は、明らかに私たちの宇宙ではないプログラムを見つけるのは、実はとても簡単だということである。空間や時間が私たちの宇宙とは明らかに全く異なっていたり、何らかの病理があるプログラムはたくさんある。しかし、明らかに私たちの宇宙ではない宇宙候補を見つけることは、それほど難しくないことがわかった。
しかし、何十億ステップもシミュレーションできる候補の宇宙が、私たちの宇宙と同じように成長するのか、それともまったく違うものになるのか、どうなるのかがわからないという、計算の非簡約性がすぐに出てくる。
宇宙の始まりの小さな断片を見たところで、光子のような身近なものを見ることができるとは到底思えないし、記述的な理論や有効な物理学を構築できるとも到底思えない。しかし、この問題は、ある意味で、ニューラルネットワークのようなシステムでも抱えている問題と奇妙に似ている。そこでは計算が行われているが、そこから私たちが理解できるような理論を構築するための「概念的ウェイポイント」を特定できるだろうか？
私たちの宇宙がそのレベルで理解できる必要は全くなく、計算機宇宙の中で「私たちの宇宙を見つけた」と思っても、確信が持てないという奇妙な状況がずっと続く可能性があるのだそうだ。
もちろん、運が良ければ、有効な物理学を推論することができ、私たちが見つけた小さなプログラムが宇宙全体を再現することができるかもしれない。それは科学にとって驚くべき瞬間である。しかし、それはすぐに、なぜこの宇宙ではなく他の宇宙なのか、という多くの新しい問題を提起するだろう。
トリリオンソウルズの箱
今、私たち人間は生物学的なシステムとして存在している。しかし、将来的には、私たちの脳の中のすべてのプロセスを、純粋にデジタル・コンピュータ的な形で再現することが技術的に可能になるだろう。つまり、それらのプロセスが「私たち」を表す限り、私たちはあらゆる計算基盤上で「仮想化」することが可能になる。この場合、ある文明の未来全体は、実質的に「1兆個の魂の箱」として終わる可能性も想像される。
その箱の中では、体外離脱した魂たちの思考や経験を表すさまざまな計算が行われているはずだ。その計算には、私たちの文明の豊かな歴史や、私たちに起こったさまざまなことが反映されているだろう。しかし、あるレベルでは、それは特別なことではない。
少し残念なことだが、「計算等価性原理」によれば、最終的にこれらの計算は、他のさまざまなシステム（たとえルールが単純で、文明の精巧な歴史がないシステムでも）で行われている計算と同じように洗練されていないことになる。確かに、その詳細はすべての歴史を反映しているだろう。しかしある意味で、何を見るか、何を気にするかということを知らなければ、それが特別であることは分からないのである。
では、「魂」そのものはどうかというと、ある目的を達成することでその行動を理解することができるのだろうか。現在の生物学的な存在では、目標や目的を与えるさまざまな制約や機能があるが、仮想の「アップロード」形態では、そのほとんどが消えてしまう。
このような状況で、「人間」の目的がどのように進化するのか、私はかなり考えた。もちろん、仮想化された状態では、人間とAIの間にほとんど違いはない。残念なことに、私たちの文明の未来は、実体のない魂が永遠に「ビデオゲーム」をすることになるかもしれないということである。
しかし、徐々に分かってきたのは、今の経験から目標や目的を未来の状況に投影することは、実はとても非現実的だということである。1000年前の人と話して、未来の人々は毎日ルームランナーで歩いているとか、友達に写真を送り続けていると説明しようとするのはどうだろう。要するに、そうした活動は、それを取り巻く文化の枠組みが発達しないと意味をなさないのだ。
これは、何が面白いか、何が説明できるかということと同じで、概念的な道しるべとなるネットワークを構築する必要がある。
100年後の数学がどうなっているか、想像できるだろうか？ それはまだわかっていない概念に依存している。同じように、未来の人間のモチベーションを想像しようとすると、わかっていない概念に依存することになるのである。今の私たちから見ると、体外離脱した魂は「ビデオゲームをしている」としか思えないかもしれないが、彼らにとっては、歴史や文化の発展段階を巻き戻さないと説明できない、微妙なモチベーション構造があるのかもしれない。
ところで、物理学の基礎理論がわかっていれば、ある意味で、少なくとも原理的には仮想化を完成させることができる。体外離脱した魂のために宇宙のシミュレーションを実行すればいい。もちろん、そうであれば、私たちの特定の宇宙のシミュレーションでなければならない理由は特にない。計算機宇宙のどの宇宙であってもいい。
しかし、ある時、体外離脱した魂が、物理的な宇宙のシミュレート版にいることに飽きて、もっと広い計算機宇宙を探検した方が楽しいと思うかもしれない（それが彼らにとってどんな意味であれ）。そうなると、ある意味、人類の未来は、「A New Kind of Science」という文脈での無限の発見の航海ということになるね。
計算機宇宙の経済学
体外離脱した人間の魂について考えるよりもずっと前に、AIがより多くのことを自動的に行えるようになった世界で、人間は何をすべきかという問題に直面することになるだろう。この問題は、ある意味では新しいものではなく、テクノロジーとオートメーションの長年の物語の延長に過ぎない。しかし、今回はなぜか違う感じがする。
その理由は、ある意味、計算機の世界には、簡単に手に入るものがたくさんあるからだと思う。ある特定の作業を自動化する機械を作ることもできるし、さまざまな作業をプログラムできる汎用コンピュータを作ることもできる。しかし、こうした自動化によってできることが増えても、そのために努力しなければならないことがあるように感じている。
しかし、今の状況は違う。なぜなら、私たちが言っているのは、事実上、達成したい目標を定義さえすれば、あとはすべて自動的に行われるということだからだ。いろいろな計算や、そう、「考える」ことは必要かもしれないが、人間の努力なしに、ただそれが行われるということなのだ。
それは、私たちが人工物を作るとき、多大な努力を払っても、結局はそれほど複雑ではないのに、なぜ自然はこれほどまでに複雑なものを作ることができるのだろうという疑問に似ている。その答えは、計算機宇宙のマイニングだと思う。私たちもまったく同じで、計算機宇宙のマイニングによって、実質的に無制限の自動化を達成できる。
現代の重要な資源を見ると、その多くが実際の素材に依存している。そして、その素材は文字通り地球から採掘されることが多い。もちろん、誰がどこで採掘するかは地理的・地質的な偶然がある。そして、最終的に利用できる素材の量には（多くの場合非常に）限界がある。
確かに、「マイニング（採掘）」の方法については技術的な問題があり、それをうまく行うための技術的な積み重ねがある。しかし、計算機宇宙の究極の資源は、グローバルで無限のものである。希少性もなく、「高価」である理由もない。ただ、そこにあることを理解し、それを活用すればいいのである。
計算機的思考への道
私はよく、考古学から動物学まで、ほとんどすべての分野を「X」とすると、今までに「コンピュテーショナルX」という分野が存在し、あるいは近い将来存在することになり、それがその分野の未来となる、と言っていた。
私自身は、特にWolfram言語の開発を通じて、そのような計算分野を実現することに深く関わっていた。しかし、本質的にメタな問題として、例えば子供たちに抽象的な計算思考をどのように教えるべきかということにも関心がある。Wolfram言語は確かに実用的なツールとして重要であるが、コンセプトや理論の基礎はどうだろうか。
それは、『A New Kind of Science』が、特定の分野や課題への応用とは無関係に、計算という純粋な抽象現象を論じているからだ。初等数学と同じで、数学的思考のアイデアを紹介するために、特定の応用とは無関係に教え、理解すべきことがあるのだ。そして、『A New Kind of Science』の核心も同様である。計算の宇宙について学ぶべきことは、直感を与え、計算の思考パターンを紹介することであり、詳細な応用とはまったく無関係だ。
これは、「プレコンピュータサイエンス」、あるいは「プレコンピュータX」のようなもので、特定の計算プロセスの詳細を議論する前に、計算の世界にあるシンプルで純粋なものを研究すればよい。
そして、算数ができるようになる前の子どもでも、セルオートマトンの塗り絵のようなものを完成させたり、さまざまな簡単なプログラムを自分で、あるいはコンピュータで実行したりすることは十分に可能だ。何を教えるのか？物事には明確なルールやアルゴリズムがあり、それに従えば便利で面白い結果が得られるということを教えてくれる。また、セル・オートマトンのようなシステムは、例えば軟体動物の殻など自然界でも見られるような、明らかな視覚的パターンを作ることができるのも、その助けになる。
世界がよりコンピューテーショナルになり、AIやコンピューテーショナルな宇宙をマイニングすることでより多くのことができるようになると、コンピューテーショナルな思考を理解するだけでなく、コンピューテーショナルな宇宙を探求することで生まれる直感のようなものが非常に高い価値を持つようになり、それがある意味で「A New Kind of Science」の基礎となるのだと思う。
あとは何を解明をすべきか？
『A New Kind of Science』の執筆に費やした10年間の私の目標は、計算宇宙に関する最初の「明白な疑問」にできるだけすべて答えることだった。そして15年後に振り返ると、それはかなりうまくいったと思う。実際、今日、私が計算宇宙に関する何かを考えるとき、本の本文や注のどこかに、それに関することがすでに書いてある可能性が非常に高いと感じる。
しかし、この15年間で大きく変わったことのひとつは、この本に書かれていることの意味を少しずつ理解できるようになったことである。この本には具体的なアイデアや発見がたくさんあるが、長期的には、それらが実用的かつ概念的に、さまざまな新しいことを理解し探求するための基礎となることが最も重要なことだと考えている。
例えば、「計算等価性原理」に対する賛否や、その適用領域について、より具体的な根拠を得ることができれば最高である。
科学における一般的な原理と同様、「計算等価性原理」の認識論的な位置づけはやや複雑である。証明できる数学の定理のようなものか？ 宇宙について正しいかもしれない（あるいは正しくない）自然法則のようなものか？ あるいは、計算という概念の定義のようなものか？ 熱力学第二法則や自然選択による進化のように、これらの組み合わせと言えるかもしれない。
しかし、「計算等価性原理」（非常に単純なルールを持つシステムでも、任意の高度な計算ができるはずであり、特にユニバーサルコンピュータとして機能するはずである）の具体的な根拠を得ることができるようになったのは大きな意義がある。
この本が出版された5年後、私は別のケース、つまり、考えられる限り最も単純な普遍的チューリング機械についての証拠を求めて賞を出すことにした。そして、わずか数ヶ月でこの賞が受賞し、チューリング機械の普遍性が証明され、「計算等価性原理」の証拠がまた一つ増えたことはとても喜ばしいことだった。
新しい種類の科学の応用を開発するためには、多くのことが必要だ。あらゆるシステムのモデルを作り、技術を発見し、芸術を創造する。また、その意味を理解することも必要なことなのだ。
しかし、計算宇宙の純粋な探求を忘れてはならない。数学に例えると、追求すべき応用があるが、それ自体で追求する価値のある「純粋数学」もある。計算宇宙も同様で、抽象的なレベルでも探求すべき膨大なものがある。この本のタイトルが示すように、計算宇宙の純粋科学というまったくA New Kind of Scienceを定義するのに十分なものがあるのである。そして、このA New Kind of Scienceを開くことこそが、『A New Kind of Science』の核となる成果であり、私が最も誇りに思うことなのだと思っている。
オートマトン、ウルフラム