アルビン・M・サーパースタイン
ウェイン州立大学（デトロイト）
1. 戦争の予測可能性、数学、そして過去の教訓
人類は何千年もの間、戦争に突入してきた。計画者と参加者はしばしば、成功する結果に完全に自信を持ちながら戦争を進めてきた。このような確信とは、戦闘、作戦、戦争を開始するとき、あるいはそれに対応するときに、勝利が予測されることを意味する。戦士とその社会は、逆転の可能性があることを知っていた。しかし、配慮と資源と計画があれば (例えば、主導権を握れば）、戦闘における個々の損失、作戦における個々の戦闘、戦争における個々の作戦を平均化した後、通常、自分たちが優位に立つことを期待した。そして、資源、タイミング、戦略などの条件が整えば、成功が予測されるとき以外は着手しなかった。この記事では、予測が可能な場合と不可能な場合について説明する。
戦史家はしばしば、戦闘の混沌とした性質や、物事が計画通りに進まないことがよくあることを指摘してきた。クラウゼヴィッツの「戦闘の霧」 (Clausewitzean1 fog of battle)は、その多くを覆い隠してしまった。それでも将軍たちは、統計的な平均値に対してうまく計画を立てられると仮定して作戦を開始した。何世紀にもわたって、歴史家たちは「政治家」が始めた戦争が、しばしばその政治家の期待に反した結果になったことを述べてきた。（もしそうでなければ、戦争に負けることはないだろう）。
実際、政治家はしばしば戦争に至る過程を制御できなくなり、双方の思惑に反して悲惨な紛争に陥ってきた2。それでも、私たちの長い歴史の中で、将軍は戦争の準備と遂行を行い、政治家は戦争を起こし、あるいは起こすよう誘惑してきた。予測が外れ、予想が外れた場合、国家や国家社会は大きく変化し、破壊されることさえあるかもしれない。しかし、基本的な文明は維持され、人間社会は「進歩」し続けるという前提が常にあった（ローマ帝国の戦乱による崩壊後、西洋が1000年に渡って衰退したような反例があるにもかかわらずである）。
結局のところ、現代の、ガリレオ以後の科学の「成功」は、予測する能力によるものである。多くの人々、特に数学者でない人々の多くは、数学を予測の頂点とみなしており、いったん公理が受け入れられれば、必要な結果は常に推論され、結果を予測することができた。確かに、現代では、非軍事的な軍事戦略家、すなわち、「戦いの霧」を直接経験することなく、大小の戦争に関する図式を作成し、これらの図式を用いて自信をもって結果を予測する安全保障アナリストが人気を博している(7)。
本稿の目的は、数学者でない人々に、予測可能性が常に数学から得られるとは限らないこと、つまり、十分に定義された数学モデルでさえ、予測可能な領域と同様にカオスの領域を許容することを指摘することにある。8 したがって、もしこれらのモデルが敵対国家システムの現実のある側面を合理的に表現しているなら、その現実は、しばしば参加者の驚きと意に反して、一見して十分に決定された（したがって十分に制御された）体制からカオスに飛び込むことがあるということである。この結果は、多くの軍事史家や社会史家にとって目新しいものではないことは確かである。その重要性は、多くのアナリストが過去の教訓を回避しようとする準数学的な確実性に由来する。
私はまず、数学的モデルにおける予測の意味を論じ、物理的世界におけるその適用可能性と失敗の例をいくつか挙げてみたい。このモデルは、確かに粗雑ではあるが、軍事安全保障のアナリストに対して、最高の決定論的モデルであっても、カオスへの移行が起こり、アナリストとその社会が悲惨な状況に陥る可能性があることを警告するのに役立つはずだ。今日の予測の失敗、望まれない戦争や戦争の結果の結果は、未来の人類にとって過去よりもはるかに深刻である可能性が高い10 – 「暗黒時代」の人類、社会、環境の劣化よりもさらに悪い。
2. 物理モデルにおける予測可能性とカオス
近代科学は、17世紀のガリレオやニュートンの物理学や天文学が、投射物の衝突点や惑星や彗星の観測位置の予測に成功したことに端を発している。新しい物理学者たちは、まず初期条件として、銃口から発射される弾丸の位置と速度、あるいは現在観測されている天体の位置と速度を設定する。これらの数値は、適切な物理法則（この場合はニュートンの運動と重力の法則）を表す方程式に入力される。その結果、「軌道」、つまり時間の関数として空間を通過する物体の経路が予測される。そして、その軌道から適切な時点を「読み取る」ことで、物体の将来の位置を予測する。予測に成功した場合、すなわち将来の観測結果と予測された軌道の値が一致した場合、その理論が「真実」であることの証拠とされる。予測に失敗すると、数学と観測が正しく行われたと仮定して、理論の変更を余儀なくされる。こうして、数理物理学は進歩していくのである。
これらの科学の成功は、社会科学の一部、例えば経済学に模倣されるに至った。後者の場合、時間発展する軌道は、通常の物理的空間を通る経路ではなく、抽象的な空間の軌道となる。その次元は、例えば、経済モデルでは商品の価格と入手可能性、空中戦のモデルでは生存する航空機の数などを表すことがある。このようなモデルを使って、戦闘の結果を予測することができるかもしれない。この場合、初期条件はそれぞれの側が利用できる軍事資源で、予測される軌道は、それぞれの側の資源が戦闘の過程でどのように変化するのかを伝えるものである。一方の側の資源がある所定の値以下に低下し、他方の側の資源が高いままであれば、一方の側が敗者と予測される。このようなモデルは、戦いの結果を軍事力の初期比率に関連付けるものであり5、したがって、社会的資源を軍事力増強に振り向ける要求を正当化するために用いることができる11。
予測された結果が気に入らなければ、初期条件を変えればいいのだ！ これらの数学的理論のそれぞれが、無限の解を許容していることに注意することが重要である。単純な物理学の場合、通常の3次元空間を通過する軌道は無限にあり、それぞれが特定の入力パラメータの初期条件に基づいていることを意味する。したがって、入力データにばらつきがあると、将来予測される位置にもばらつきが生じる。この変動は、入力データの実際の決定、つまり実際の測定がデータの範囲をもたらすので避けられない。理想的な測定とは対照的に、実際の測定は不完全なので、基本的な実験の不確かさが常に存在する。例えば、発射体の衝突点は、衝突面のある領域内にあるとしか言えない（有限のCEP「円形誤差確率」を持っている）。
実際の予測は、その値の範囲が運動が可能な全許容空間と比較して小さい場合にのみ有用である。つまり、互いに接近して開始する軌道（開始値の範囲が小さい）が互いに接近したままである場合である。もし、モデルから得られる情報が、弾丸を発射する大砲を中心とした広大な円のどこかに弾丸が着弾するとか、指定した惑星が天球のどこかに見えるというだけだったら、あまり意味がないだろう。
予測値の範囲の大きさは、入力データの範囲（初期観測の実験精度）、法則の数学的形式、「境界条件」 (例えば、運動が壁で制限されるかどうか、されるなら壁でどんな条件が成立するか）に依存する。例えば、自由空間を動く単一分子の運動は、非常によく予測できる。最初の位置と速度が高品質に測定されていれば、将来のどの時点でも予測値の幅は小さく、運動がよく決定されていることを意味する。同じ分子を、よく決められた初期値で、壁に囲まれた容器（他の分子があってもなくてもよい）に入れると、分子は衝突時に（よく決められた方法で）反射し、不定形な軌道を描く。最初は互いに近い軌道を描いていたものが、やがて極端にずれていく。予測される位置の範囲は急速に拡大し、やがて容器の体積と同じになる。つまり、分子が箱の中のどこかにあるということだけが、運動の法則や軌道の予測に頼らずとも、あらかじめ分かっていることなのである。
一方は予測可能で、他方は無秩序であり、一方はその後のすべての運動をいつでも完全に予見することができ、他方はその後に何が起こるかを完全に知らないということである。この論文の核心は、予測可能な挙動とカオス的な挙動の両方を示す物理システム（およびそれをうまく表現する数学モデル）が存在し、この2つの全く異なるタイプの挙動の間で遷移することが可能であるということである。その好例が、ニュートンの運動法則から導かれる流体力学の方程式で記述される液体の流れである12。遮るもののない流路を比較的ゆっくりと流れることで特徴づけられる「層流」領域では、運動はある瞬間に場所から場所へ、またある場所で瞬間から瞬間へと滑らかに、予測可能に変化していく。ある瞬間のある地点での運動を調べると、同じ位置や隣接する位置での運動について、「隣接する瞬間」つまり近い将来の有益な予測を立てることができる。このように、層流は予測可能な振る舞いを意味する。
これに対して、浅い川底の岩の間を流れる狭い川の急流に特徴的な、絶えず変化する横流、渦、渦巻きなどの乱流領域はカオスである。ある瞬間のある地点での流体の動きを知っても、同じ瞬間の近くの地点や、後の時間の同じ地点での動きについては何もわからない。同じ水域でも、ある地点では層流、ある地点では乱流になることがある。レイノルズ数（流速と流路の大きさで決まる）がある臨界値を超えて大きくなると、流体の流れは層流から乱流に変化する。したがって、航空機の設計者は、翼の乱流を避けたいと考え、気流が臨界レイノルズ数以下になるように形状や条件を調整する。設計者がレイノルズ数を遷移点よりかなり低く保とうとするのは、遷移の位置や手段が物理システムを正確に反映するような完全な数学モデルが存在しないからであり、モデルの不備やモデルによって予測される不備は許容されなければならない。
このように、同じ物理系であっても、あるパラメータの値域では予測可能な振る舞いが、他の値域では予測不可能な振る舞いが、そしてその2つの振る舞いの間では遷移が、同じ数式で実現される。このように複雑な挙動が許されるのは、方程式の「非線形性」、すなわち原因と結果が必ずしも比例しないことに起因している。(例えば、電気回路では、電流が効果で、電圧差が原因かもしれない。線形デバイスでは、デバイスを流れる電流はデバイスを横切る電圧差に比例し、抵抗は一定である。非線形デバイスでは、電流の流れに対する抵抗自体が電流の大きさによって変化するため、電圧差と電流が比例する必要はない）。
非物理的なシステム、例えば社会システムや国際システムにおいても、非線形数学モデルでうまく表現できれば、同様の複雑な挙動が予想される。(例えば、経済システムでは、価格（原因）の変化は、望ましい財の供給（効果）の変化に比例しないかもしれない。供給の変化は、供給の変化を促す価格の変化を修正するという非線形効果があるかもしれない9。
国際的な敵対関係のシステムの数学的モデルにおけるこの予測可能性の崩壊は、このようなシステムにおける戦争の特徴をよく表していると思われる。予測可能性からカオスへの移行は、「軍拡競争」構 成における「平和」（冷戦）から戦争への移行のよい類似点であると思われる。物理システムが、システムの設計者や運用者が細心の注意を払わない限り、層流から乱流体制に移行することがあるように、敵対する二国間または多国間の国家システムは、関係する指導者や国民の希望にもかかわらず、不注意にも戦争に移行することがある。政府関係者は、システムを完全に理解しているため、そのようなシステムを完全に制御していると感じるかもしれない。合理的に完全なモデル、システムの実際の挙動を正確に反映した決定論的な数学方程式のセット（ちょうど物理システムが決定論的な数学方程式のセットによってうまくモデル化されているという点で理解されているように）があるにもかかわらず、予期しない小さな摂動によってモデルと実際の世界が戦争のカオスに陥っていることに気がつくのである。
3. カオスと戦争-二国間軍拡競争に対する非線形モデル
私は、戦争の勃発を予測可能性の崩壊としてとらえることを提案している。複雑な早期警戒レーダーや衛星観測システムの小さな部品の故障、命令に従わない個人の不合理な行動、テロ行為などの初期条件の小さな変化が、国際システムの予期せぬ大きな変化を引き起こす状況である。(システムが臨界遷移形態から遠く離れていれば、このような小さな変化が大きな反応につながることはない）。そのため、分析家、計画立案者、政治家など、どの参加者の行動もある程度確実に予測することはできない。このような状態は、数学的な概念であるカオスによって特徴づけられる。現代世界との関連性は、歴史的記録だけでなく、非線形方程式におけるカオス研究の最近の進展8や、現代の2つの国家間の敵対・協力関係の数学的モデルには、本質的に非線形の要素がなければならないという考えによって示唆されている。もし、そのモデルが何らかの記述的妥当性を持っているならば、カオスへの移行の可能性は受け入れられなければならない。
二つの競合する国家間の軍拡競争を記述するためによく使われるモデルは、リチャードソンによるものである6。変数は、二つの社会のそれぞれの相互敵対に対する「献身」の尺度であり、例えば、国民総生産に対する軍事支出の比率、軍備下の人口比率などである。ある尺度の時間的な変化は、他の尺度に比例すると仮定する。したがって、A国の軍備の変化率はB国の軍備の総量に比例し、その逆もまた然りである。すなわち、相手の軍備が増えれば増えるほど、自分が怖くなり、自分の軍備を増強することになる。また、自国の軍備に対する各国の本質的な反応（すなわち、Aの軍備の現在の総ストックに対するAの軍備の増加率の比例関係）がある。例えば、大規模な軍事施設がさらなる軍備増強を成功させるかもしれないし、社会の他の人々がそのような増強に抵抗するかもしれない。
このモデルは一次方程式で構成されているため、解が近いものから順に並んでいく。リチャードソン変数によって定義される抽象的な数学的「空間」を使用する場合、異なる解はこの空間を通る異なる軌道を表す。実際の測定で許容される開始条件の範囲（すなわち、軍備レベルの現在値における不確実性など）は、リチャードソン方程式によって一連の軌道（「流れ」）が許容されることを意味するが、これらの軌道は層流または流体におけるように互いに接近したままである。したがって、将来の軍備レベル、軍人の数などを予測することが可能である。
モデルパラメータ（比例係数）が、どのような初期条件でもすべての解が平衡値まで減衰するようなものであれば、その系は安定と言われる。モデルパラメータが、変数の値を無限に増やすことができるようなものであれば、システムは不安定であり、特定の開始値によっては、当事者間の最終的な戦争を意味する軍拡競争の暴走が起こるかもしれない。どちらの場合でも、この方程式は、ある状況がどのように戦争に発展するか、あるいは比較的平和な体制に落ち着くかを完全に予見することができる。どちらの結果も受け入れるのであれば、それを予測し準備する方法を知っていることになる。平和」を保証したいのであれば、安定したシステムの方向に向かうように、ある意味で2つの社会の特徴であるモデルのパラメータを変更しようとすることになる。(必要な変更はかなり容易に特定できるが、それが達成できるかどうかは別の問題である）。
リチャードソン・モデルは完全な予測可能性を表している。しかし、国家の歴史は、平和から戦争への移行に伴い、1つまたは複数の政府による統制が失われた例で満ちている（自発的または不本意ながら）。このように、リチャードソンモデルは、現実を記述するものとして、非線形の条件を欠き、本質的に不完全なものである。このような条件の性質はかなり明白である。国家は、軍備に必要以上の支出をすることはできず、人口以上の人員を軍に投入することもできない。もしB国がすでに敵対行為への献身に全力を注いでいるならば、それ以上増やすことはできない。これは、A国はもはやB国の軍事献身に上限を設けてそれに比例して軍事介入を続ける必要がないことを示唆している。このように、現実的なモデルは多くの非線形項を持ち、予測可能な領域、カオス領域、遷移領域を定義するために、広範な分析とコンピュータによる調査を必要とする。その前に、現代世界にとって最も関心の高い軍拡競争に参加しているアメリカとソ連の社会、経済、軍事に関するデータを分析し、多くの適切なパラメータを決定する必要がある。
より深刻なのは、多くのデータを「軍事的献身」との関連性という観点から解釈することが困難であることである。もっと深刻なのは、病院、高速道路、空港、電子工場などは、純粋に民間人の意図によるものか、それとも国家間の敵対的雰囲気、能力、行動にも大きく寄与しているのだろうか。このように、国際的な対立の流れに対して意味のある臨界レイノルズ数を予測し、「もし、このような軍事的献身の値を超えたら、国際情勢は予測可能性からカオス、平和から戦争へと移行するだろう（逆に、超えない場合は、戦争や災害を恐れずに自信を持って進むことができるだろう）」と言えるほど、モデルが完成するには長い時間がかかると思われる。
このような困難にもかかわらず、基本的な概念を説明するために、リチャードソン・モデルの一部から単純な2 パラメータの非線形モデル（「対角項」，すなわち各 国の軍備の変動と自国の軍備のストックとを結びつける項を除いたもの）を作成し、予測可能性と混沌の領域について分析 した。その結果、92の2つのパラメータを関連付ける「4遷移曲線」が得られた。この曲線より下では、モデルは予測可能であり、小さな入力の変化は小さな出力の変化を意味し、したがってシステムは安定していると言える。曲線より上はカオスの領域であり、小さな入力の変化が大きな不確定な出力の変化をもたらすので、システムは不安定である。第二次世界大戦争前のヨーロッパにおける軍拡競争（フランス、ドイツ、イタリア、イギリス、ソ連、1934-37)の粗雑で疑わしいデータから2つのパラメータを決定したところ、それぞれの組のパラメータが遷移曲線付近かその上にあることがわかり、当時戦争が差し迫っていたことが確認された-こんな粗いモデルがよくできたという以外、大きな驚きではないだろう。(物理システムとの類似性から、より現実的なモデル、より多くのパラメータを持つモデルは、遷移曲線が低くなることが予想される）。
現在の米ソの軍拡競争に目を向けると、同じ粗雑なモデルが、またしても疑わしいデータと結びついて、現在、移行曲線をはるかに下回っていることを示している。もし、ソ連の軍備投資と米国の軍備投資の比率が大幅に上昇すれば（あるいはその逆であれば）、不安定な状態に陥るだろう。モデルと入力データの粗雑さを考慮すると、ここから安心感を得ることはできない。
国際競争モデルの現実的な「レイノルズ数」の正確な値がすぐに見つかるか、何年も見つからないか、あるいは全く見つからないかは、現在のところ大きな問題ではない。（もし、見つかったとしても、私たちの「指導者」たちは、その結果得られる遷移曲線に十分近づかないように手配してほしいものである）。私が言いたいのは、競合する国家という現実の世界に酷似したモデルは、本質的に非線型でなければならず、それゆえ、破滅的な制御不能に陥る可能性があるということだ。
4. 結論
航空機の潜在的なユーザーは、経験や数学的モデルから、乱流への移行が可能であることを知っている。そして、乱流による揚力の喪失とそれによる災害を避けたいのであれば、遷移領域から離れるように航空機を設計し、操縦することになる。私たちは経験と粗いモデルから、国家が競合する国際システムにおいてカオスへの移行が可能であることを知っている。しかし、その近傍でシステムを安全に運用できるような遷移点をまだ特定できていない。したがって、現在の紛争システムのほとんどすべての領域を潜在的な移行領域とみなし、それに応じて行動することが賢明である。ただし、システムの複雑さを過度に増大させないようにし、「小さな摂動1」に対する依存度と感度を高めないように注意しなければならない。