Is Mathematics Invented or Discovered? | Episode 409 | Closer To Truth
Robert Lawrence Kuhn 0:28
数学は、原子やどんぐり、星や階段などの現実の世界を描写します。単純で抽象的な方程式は、複雑な物理的事象を美しく、エレガントに定義します。なぜそうなるのでしょうか？考えれば考えるほど、私は驚かされます。アインシュタインは、「宇宙の最も理解しがたいことは、宇宙が理解しがたいということだ」と言っています。物理学者のユージン・ワグナーは、科学における数学の理不尽なまでの有効性を指摘しました。
では、数学は人間が発明したものなのでしょうか？ノミや金槌や音楽の駒のように？それとも数学は発見されるのでしょうか？いつもそこにあるのでしょうか？神秘的な島のように、どこかで発見されるのを待っているのでしょうか？数学は発明されたのか、それとも発見されたのか、存在の最も深い秘密を探る質問です。
私はロバート・ローレンス・キューンです。真実に近づくことが、私の探求の旅です。まずはオックスフォードで、世界で最も著名な数学者の一人であるロジャー・ペンローズから始めるべきでしょう。ロジャーは彼のビジョンの中で、基準を設定しています。ロジャー、数学は物理的な世界をどれくらい正確に表現できるのでしょうか？
Roger Penrose 2:34
数学は非常に正確ですが、数学のような抽象的なものが、私たちが理解しているような現実を本当に記述することができるというのは、人々にとって不可解なことだと思います。つまり、現実というと、あなたは椅子か何か、固体でできたものを思い浮かべるでしょう。そして、それが何であるかについて、私たちが最も科学的に理解していることは何だろうかと考えます。それは、繊維や細胞などでできているということになります。
これらは分子でできています。そして、その分子は原子でできています。原子は核と電子からできていて、周りを回っています。原子核とは何かというと、陽子と中性子のことです。それらはグルーオンと呼ばれるものによって結合されています。中性子と陽子は、クォークと呼ばれるものでできています。そして、電子とは何か、クォークとは何か、ということになります。
その段階では、数学的な構造を説明するのが精一杯で、「ディラック方程式を満たすもの」などと言っていますが、数学なしにその意味を理解することはできません。つまり、現実を数学的に記述することが、私たちが常に目指すところなのです。そして、この方程式は素晴らしく正確です。ファインマンは、ニューヨークとロサンゼルスの間の距離を、人間の髪の毛の太さよりも小さい精度で記述することができる、と言っていました。
これはかなり正確ですね。ニュートンの理論はすでに10分の1の精度を持っていましたが、それが7になったわけですから、1000万になります。すごい。そして、アインシュタインが登場して理論を生み出し、今では10の10乗のような精度であることが知られています。
例えば、私たちが見ている物理的な現実は、少なくとも私たちが理解している範囲では、私たちが世界について考える方法よりも正確な何かに依存していることを示しています。
この精密さは、古代ギリシャ、ピタゴラスの時代、そしてそれ以降に遡ります。彼らは、物理的な現実にある程度刺激されながら、研究分野として数学的なアイデアを発展させましたが、この数学的なスキームは、純粋にそれ自身の研究として発展させました。それ以来、数学はそれ自体のために研究することができる科目であり、ある意味ではそれ自体が生命を持っています。
確かに数学者はそのように考えています。それは、私たちが知っている現実である椅子などのような普通の種類の現実とは別に、現実を持っているように見える、外にある何かであり、それはプラトン世界のプラトン的現実と呼ばれることもあります。そして、時に人々はそれを現実と考えることに大きな問題を抱えています。つまり、哲学者たちは
Robert Lawrence Kuhn 5:09
哲学者はそのことを心配したりします。それは何を意味するのでしょうか？プラトニックな現実？
Roger Penrose 5:13
物理的な世界の現実とは異なる種類の現実のことです。私は、現実にはさまざまな見方があると考えています。
私たちの精神的な経験の現実があり、それは現実、物理的な現実と相互に関係しています。しかし、それに加えて、これらの概念にリアリティを与えるプラトニックな世界の数学的リアリティがあります。
最大の素数は存在しないなどの数学的事実が好きなら、それは私たちとは無関係なものです。それは常に真実なのです。何らかの形で真実になったものもあるのではないでしょうか？誰かが証明するのが難しいと思った途端に？それは常に真実だったのでしょうか？それとも
Robert Lawrence Kuhn 5:48
誰もいなければ真実だったのでしょうか？
Roger Penrose 5:51
その通りです。なぜなら、もし物理的な世界がこれらの数学的な法則に正確に依存していたならば、もし数学がすでにそこに存在していなかったならば、私はある意味で何をすべきかを知ることができなかったからです。つまり、世界にこれを押し付けるのは私たちではないのです。それは、そこにあるのです。時々、数学的に優れた物理法則があるのは、それが世界を理解するための最良の方法だからではないかと考える人がいます。
しかし、それ以上のものがあるのです。それは本当に世界のどこかにあるのです。私は、数学を地質学や考古学のようなものだと考えていますが、世界のどこかにある何かを探求しているのです。そして、美しいものや、実際には何年も何年も前からそこにあったものを見つけ、それを初めて明らかにするのです。中には夢にも思わなかったものもあります。
Robert Lawrence Kuhn 6:44
ロジャーは、数学には物理的な空間や時間とは根本的に異なる独立した存在、プラトニックな存在があると信じていることで有名です。私は、物質的なものを超えた存在というのが好きです。でも心配なのは、それがパットの答えになってしまうことです。簡単すぎる。誰もが同意するわけではありませんからね。
そこで私はロサンゼルスに行き、数学の哲学を専門とするマーク・ベラ・ガーに会いに行ったのですが、その効果は理屈抜きでした。では、数学のマークは何が特別なのでしょうか？ほとんどの人はこう考えます。
Mark Balaguer 7:33
ほとんどの人は、数学は問題を解決することだと思っています。そして、数学が得意であることについて話しています。つまり、数学はスキルのようなものなのです。
しかし、数学者が行う本当の数学は、世界についての理論なのです。物理学や生物学と同じようにね。ですから、例えば、数学は構造の研究であるように見えます。人々が知っている最も基本的なものは、自然数の構造です。つまり、私たちが知っているこの構造は,0から始まり、123まであり、それは永遠に続くのです。
このような基本的な法則から、数学者は構造がどのようなものであるかについて、より高度な問題を考え始めます。そして、定理を証明していきます。定理とは、この構造の性質についての主張でしかありません。不思議なのは、抽象的で知的に見える構造が、なぜ私たちにはあるのかということです。物理的な世界の仕組みを説明するのに、なぜこれらの構造が関係するのでしょうか？
Robert Lawrence Kuhn 8:27
さて、ではどうやってその謎を解くのでしょうか？どうすれば意味があるのでしょうか？
Mark Balaguer 8:32
さて、一つの説明は、我々が研究できたかもしれない膨大な数の数学的構造が、物理的世界の研究には全く役に立たないということです。では、なぜ数学者は、役に立つことがわかったこれらの構造を研究し始めたのでしょうか？その答えは、彼らが物理的な世界に住んでいるからです。そして、構造に関する彼らの考えは、物理的な世界に住んでいるからこそ生まれるのです。
Robert Lawrence Kuhn 8:54
つまり、抽象的な数学的構造、アイデア、数字、関係などは、物理的な世界には存在しないものということですね。しかし、それは存在するのでしょうか？
Mark Balaguer 9:10
状況によります。頭の中にあるという精神論的な見方、物理的な世界にあるという物理論的な見方、プラトンにあるというプラトン的な見方の4つの見方があります。非物理的で非精神的な抽象的物体であるというプラトン的な見方、そして数学的な物体は存在しないという反実在論的な見方があります。そして、何もありません。
Robert Lawrence Kuhn 9:29
さて、3つ目の見解は、プラトンの神秘主義的な見解です。では、なぜそのように呼ばれるのでしょうか？
Mark Balaguer 9:34
抽象的な物体とは、空間と時間に存在しない物体のことで、物理的でも精神的でもありません。また、因果関係もありません。つまり、私たちが普段の生活で遭遇するような物体とは違うのです。物体やその種の物体である抽象的な物体を信じることをプラトン主義といいます。
このようなものが存在するというのは、有名なプラトンの見解ですから、正しい種類のプラトン主義は、最も強い種類の実在論であり、固定されたものは、最も強い種類の反実在論であり、数学は文字通り偽物であるというものです。
Robert Lawrence Kuhn 10:04
つまり、あなたはこの両方の意見を擁護してきたわけですね。だから
Mark Balaguer 10:07
彼らの意見が一致しないのは、物体が存在するかしないかということだけです。そして、対象物が存在するかどうかを知る方法はないように見えます。だから、プラトン主義と虚構主義のどちらが正しい見解なのかを発見することはできません。
Robert Lawrence Kuhn 10:18
でも、どちらか一方だと思いますか？
Mark Balaguer 10:22
いいえ。正しい正解があるとは思えません。
Robert Lawrence Kuhn 10:24
だから、ただ単に「わからない」というだけではなく、正しい答えはないということですね。
Mark Balaguer 10:27
対象物が存在するかどうかの事実がないことについては、正しい答えはありません。ただ発見できないというわけではないのです。と思うかもしれませんが、それはどうしてでしょう？と思うかもしれません。
最初にプラトン主義について聞いたとき、私は学生たちにこれを教えます。すると彼らは頭を悩ませます。何が言いたいの？非物理的なもので、なぜ？私も学部生のときに初めてプラトン主義について聞いたとき、このような経験をしたことを覚えています。その後、私はこの問題に取り組んできました。そして、抽象的なオブジェクトの考え方に慣れてきました。
これは哲学者の常套手段です。慣れてくると、あたかも簡単な問題であるかのように話すようになります。しかし、私は最初の学生が正しかったと思っています。完全に非物理的で、非精神的で、非空間的で、非時間的で、非因果的なものである抽象的な物体が存在するということは、何を意味するのか全く不明なのです。
それは何ですか？それが何でないかを教えてくれるの？私はそれが何であるかを知りません。抽象的な物体という概念はあまりにも不明確で、何をもって抽象的な物体が存在するとみなすのかさえもわかりません。ネパールのどこかに、実際に行って発見できるような村があるわけでもないし。正解があるとは思えないのです。
Robert Lawrence Kuhn 11:40
数学の有効性は明確です。ではなぜ、数学の本質はこんなにも曖昧なのでしょうか。数学は精神的なものなのか、物理的なものなのか、プラトニックなものなのか、それとも単に現実ではないのでしょうか。
数学者が必要だ。アイスランドで宇宙論者の集まりがあり、そこで哲学者ではなく数学者のグレゴリー・チャッティンに出会いました。グレゴリーは複雑性理論と計算を専門としており、それが彼の「数学とは何か」という強い意見の原動力となっています。
Gregory Chaitin 12:26
万物の理論。
Robert Lawrence Kuhn 12:28
グレッグさん、数学には何か発見されたような基本的なものはありますか？
Gregory Chaitin 12:33
あなたが数学者であるとき、本当に基本的だと感じられる何かを見つけたなら、あなたがそれを見つけなかったとしても、他の誰かが見つけるだろうと思うかもしれません。
しかし、数学の中には、論文を発表するための練習のような、もっと作為的なものもあります。私はこの点について、どちらともいえません。
私自身を含め、多くの数学者の無意識の奥底を覗いてみると、ある意味、神学的、中世的な信念を持っていると思います。私たちは、数学的概念の完璧なアイデアを持つ、このプラトニックなアイデアの世界を信じています。そうでなければ、人生を無駄にしてしまいます。何も間違っていません。
これはすべてゲームなのでしょうか？すべては私たちが勝手に作り出したゲームなのでしょうか？
Robert Lawrence Kuhn 13:15
何の問題もありません。もしそれが、ある人にとっては、何が真実なのかわからないでしょう。あなたを幸せにしたくないものは何か、私にはわかりません。まあ、いくつかの分野はありますが
Gregory Chaitin 13:21
名前は言いませんが、私は数学の分野では好きではありません。しかし、私は自分の人生を完全に投げ出していないという幻想を持ちたいのです。そして、私はそれを発明しただけではありません。
そしてそれは、そこにあるある種の根本的な現実を表現しています。それは物理的な世界から独立しています。それは別の現実です。それがどこにあるのか、私にはわかりません。正の整数がどこにあるかなんて聞かないでください。しかし、彼らはここに住んでいるとは思いません。
ある意味では、ちょっとした宗教のようなものです。中世から抜け出せない科目のようなものです。つまり、ある意味、挑発的に言うと、神の心の中にある彼らの考えを。つまり、これはどこにあるの？主題はどこにある？ここにはありません。
つまり、目に見えない、私たちの純粋な世界よりも優れた世界を信じているのです。これは少し宗教的に聞こえてきませんか？ある意味では、奇妙な形の宗教です。
Robert Lawrence Kuhn 14:07
宗教的に聞こえることに動揺していませんか？守りに入っているように聞こえますか？
Gregory Chaitin 14:10
まあ、現在の状況を考えると、防御的に聞こえざるを得ないでしょうね。私は最初、伝統的な数学の学生のように、数学的な現実を信じていました。つまり、ある意味では、数学は神の心の中にあり、完璧であると言っているのです。
なるほど、そのようにスタートしました。そして、40年後の私の最終的な結論は？一生をかけてこれらのことに夢中になった私の最終的な結論は、数学者はもう少し実験科学者のように振る舞うべきだということです。
もし彼らがコンピュータの実験をして、何かがそうであるように見えても、それを証明することができないとしたら、これは非常に有用な真実です。もしそれが真実であれば、それを新しい公理として加えるべきかもしれませんし
Robert Lawrence Kuhn 14:59
伝統的な方法では証明できないことを認めるべきだと思います。
Gregory Chaitin 15:03
諦めるのです。さて、数学者はこれを見て恐怖で引き返してしまうでしょう。しかし、私の仕事はこの方向に向かっていると思います。
ただ、私の場合は、自分の意志に反して、数学は経験的なものであるという方向に追いやられてしまいましたし、言い換えれば、自分たちで発明したということになります。
ですから、このような立場から始めて、最後には反対の立場になるというのは、心理的には矛盾しています。ですから、ある意味では、私たちがどこに立っているのかわかりません。
これは、伝統的な数学の考え方の不条理還元です。なぜなら、もしそれを信じるならば、それに反対しなければならないからです。では、我々はどこにいるのでしょうか？私たちがどこにいるのか、よくわかりません。私のような惨めな虫が、今、この瞬間に。
Robert Lawrence Kuhn 15:44
発明したのか、発見したのか。グレッグの数学に関する考えは、数学が常に存在していたかどうかについて、確信から不確実性へと変わった。数学に一生を捧げた後、グレッグはよくわからなくなっています。
では、私はどうなるのでしょうか？そう、重要なことなのです。数学は存在の基本です。新しい考え方はありますか？物理学者であり、独創的な思考を持つスティーブン・ウルフラムは、彼が新しいタイプの科学と呼ぶものを開発しました。それは、複雑な数学ではなく、単純なルールが現実を構築するという衝撃的な考えに基づいています。
これは可能なのでしょうか？すべての数学は単純なルールの産物なのでしょうか？
Stephen Wolfram 16:49
私は長い間、数学の本質とは何かということに興味を持ってきました。私はMathematicaというものを作って生計を立てていますが、これは可能な限り広い意味で、数学が包含しうる種類のものを網羅しようとするものです。
しかし、基礎科学の観点から私が興味を持っているのは、今日私たちが実践している数学は、唯一可能な数学なのかということです。それとも、私たちの文明の偉大な成果物でありながら、歴史的な事故による人工物のような数学なのでしょうか。
私がはっきりと出した結論は、現在の数学は、実際のところ、本当に歴史的な人工物だということです。伝統的な数学自体は、歴史的なものではありません。
人々は、数学とは最も一般的な形式的、抽象的なシステムであると考えがちでした。数学の歴史を見てみると、元々はそういうものではありませんでした。つまり、古代バビロンでは、商売などのために算術がありました。また、土地の測量のために幾何学がありました。
私が思うに、数学の歴史とは、算術と幾何学の漸進的な一般化であり、それに加えて、定理とその定理の抽象的な証明を作ることができるという、一つの重要な方法論的なアイデアです。また、質問されたことのほとんどが定理の証明に成功するという特徴を持つ傾向があるのでしょうか？どちらの場合も、答えはノーだと思います。
例えば、一つの方法として、究極的には数学を解体することができます。これまでに発表された数学に関する論文は300万件ほどあると言われています。
これらはすべて、ある種の公理に基づいています。公理とは、数学を成長させるものです。公理は数学を成長させるものです。私たちの特定の数学は、この数ページに書き込める特定の公理のセットです。
しかし、そこには可能な数学の全宇宙があるのです。それらはどのようなものでしょうか？
最初の質問は、我々の特殊な数学は、この可能な数学の宇宙のどこに位置するのか、ということです。1つ目は「可能な数学」の10番？5兆分の1の数学は可能か？それはどこにあるのでしょうか？答えは、その空間をどのように列挙するかによって決まります。
しかし、大まかに言えば、AXIOMシステムの5万番目くらいの可能性を持っています。つまり、可能性のある公理系の宇宙の中で、可能性のある数学の宇宙は、「宇宙人が違いを届けてくれれば、論理的に可能な数学がある」と言っているのです。
しかし、私たちはすぐに「それは妥当な数学ではない」とは言えないでしょう。
Robert Lawrence Kuhn 19:31
なぜなら、それは根本的に異なっているにもかかわらず、自己矛盾しているからです。
Stephen Wolfram 19:34
そうですね。さて、数学の歴史を振り返ってみると、人々が興味を持ったほとんどのことが、最終的には解決可能になっています。
しかし、私が疑っていることの1つは、実はそれが数学の真の姿ではないということです。もし、数学的な質問を恣意的に行ったとしたら、その大半は解決できないものになってしまうでしょう。そして実際には、その未解決の能力は非常に身近なところにあり、数学はそれを見ていないだけなのです。
なぜなら、数学が歴史的に進歩してきた特殊な方法は、それを避ける傾向にあったからです。と言われるかもしれませんが、数学は自然界の良いモデルです。なぜなら、科学や自然界の研究でうまく対処してきたことは、数学のような方法でうまく対処できたことだからです。つまり、人間の数学は、私たちの文明の偉大な成果物の1つであるということです。膨大な人間の努力によって生み出された、完璧で素晴らしいものの一つです。
Robert Lawrence Kuhn
しかし、それは人工物なのですね。
Stephen Wolfram
それは人工物なのです。将来的には、そのような数学の世界のすべてを探求することができるようになると思います。それは、数学にとってだけでなく、私たちの科学や技術にとっても非常に重要なことです。
Robert Lawrence Kuhn 21:17
スティーブンは、私たちの数学に深い意味があるという考えを否定しています。むしろ、彼はすべての可能な数学の広大な空間に目を向けています。しかし、単なる人工物としての数学は、私にとっては厄介なものです。だから私はMITに行って、ノーベル物理学賞を受賞したフランク・ウィルゼックさんに会いに行くんです。
フランクさん、あなたは数学の根本的な疑問をどうしますか？それは人間の頭脳によって発明されたものなのでしょうか？それとも発見されたものなのか、それは常に何らかの形で存在していたのでしょうか。
Frank Wilczek 22:05
プラトニック・フォームやプラトニック・ヘブンで常に存在していたことを発見するのでしょうか？答えは両方です。発明されたものでもあり、発見されたものでもあります。
しかし、私はほとんどが発見されたものだと思います。数学は、明確な前提条件を持つ公理を取り、その結果を導き出すプロセスです。つまり、公理を作ることが発明であり、その結果を引き出すことが発見なのです。それは発見です。
さて、数学者が実際に行っていることを見てみると、ほとんどの数学者は新しい公理を作ることに多くの時間を費やしておらず、豊かで興味深いことが証明されている公理の結果を引き出すことに時間を費やしています。時には、ユークリッド幾何学から非ユークリッド幾何学への移行のように、新しい公理のセットを導入しなければならないこともあります。
これらは、数学におけるエポックメイキングな出来事であり、これらはセンスのある発明であると言えます。
Robert Lawrence Kuhn 22:58
それはいい言葉ですね。それは発明ですか？
Frank Wilczek 22:59
アインシュタインの相対性理論のために、宇宙が非ユークリッド幾何学を必要としていたとしたら、それはずっと存在していたことになります。発明はどこかから生まれるものですから、自然現象からインスピレーションを受けることもあるでしょう。非ユークリッド幾何学の場合は、ややもするとガウスがそれらの概念を発展させたのです。また、地球を測量するという意味では、地球は丸い。
しかし、根底にあるのは、「何かをするために公理を生で発明することは可能ですが、そのほとんどは面白くない」ということです。面白いのは発見です。つまり、発明であっても、面白い公理は何かを発見するという要素があるのです。ですから、私は元々、数学は発明よりも発見の方が多いと言っていましたが、それがより一層そうさせているのです。
Robert Lawrence Kuhn 24:04
では、数学は発明されたものなのでしょうか、それとも発見されたものなのでしょうか？
私たちが知っていることは次の通りです。数学は物理世界を驚くべき精度で記述します。なぜか？2つの可能性があります。1つ目は、数学が物理的世界の基礎となり、物理的世界を生み出していること。
2つ目は、数学は、自然界のある規則性を記述するための人間の記述であるということです。そして、数学には多くの可能性があるので、いくつかの方程式は必ず当てはまります。
数学の本質については、4つの可能性があります。数学は、物理的なもの、リアルワールドに実際に存在するもの、精神的なもの、心の中にあるもの、人間が作り上げたものに過ぎないもの、プラトニックなもの、非物理的なもの、非精神的なもの、抽象的なもの、フィクションの反現実主義者、全くの作り物であるもの、が考えられます。
数学は、物理的なものか、精神的なものか、プラトニックなものか、フィクションなものでしょうか。深い現実の暗い井戸を覗き込むことで 数学は私たちを真実に近づけてくれます。