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Groundbreaking predictions about COVID-19 pandemic duration, number of infected and dead: A novel mathematical approach never used in epidemiology
www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.08.05.20168781v1.full
J. J. G. García de Alcañíz, V. López-Rodas, E. Costas
この論文はプレプリントであり、査読を受けていない（これはどういう意味であろうか？この論文は、まだ評価されていない新しい医学研究を報告しているため、臨床診療の指針として使用すべきではない。
概要
パンデミックの期間や感染者・死者の数については、伝統的な疫学的ツール（SIR、SIRDモデルなど）やビッグデータ解析の新しい手順を用いて、何百もの予測が行われてきた。しかし、この病気は非常に複雑であり、パンデミックに関する知識（R値、死亡率など）が不足しているため、これらの推定値の精度には不確実性がある。しかし、物理学や確率論に基づいたデルタ-t法、Lindy’s Law、Doomsday principle-Carter’s catastropheなどのエレガントな数学的アプローチは、不確実性の高い複雑な現象（人類の寿命、絶滅するまでにあと何人の人間が生まれるかなど）を解明するために科学者たちによって成功裏に適用されており、COVID-19パンデミックのパラメータを予測することができる。これらのモデルによると、COVID-19のパンデミックは少なくとも2021年9月～10月まで、おそらく2022年1月～9月まで続き、最低でも36,000,000人、最高で60,000,000人の感染者と、最高で1,400,000人、最高で2,333,000人の死者が出ると予測されている。
はじめに
未知の新型ウイルス1の突然の出現により、世界的なパンデミックが発生し、各国は今もなお戦っているが、その結果は全く異なっている。SARS-CoV-2の問題はこれだけではなく、COVID-19パンデミックの進化に関する不確実性は計り知れないものがある。
科学者たちは、このウイルスの影響を理解し、対策を講じるために多大な努力をしている。現在までに、7000件以上のプレプリントが研究用に公開されているが、その多くは病気の臨床的な側面に焦点を当てており2-14,その他はウイルスの特徴、さらには疫学的な特徴などに焦点を当てている。未知の事象に直面したとき、数学的アプローチは新しい知識を迅速に提供するのに非常に役立つ15-18。
COVID-19の発生をより深く理解するためには、当初から数多くの数学的アプローチが有用であることが証明されている。
回帰分析は、政府がより良い判断を下せるような病気の側面に光を当てたもので、一般的に最初の有用な数学的アプローチとされている2,19-22。観光、移動、汚染などの国の変数は、感染者や死者の数をよく予測するが、国の医療制度や経済状況などは、それよりもはるかに低い確率で予測する23。
COVID-19問題に対するその他の数学的アプローチとしては、伝統的なツールを用いた疫学や、最近ではビッグデータ分析が挙げられる。パンデミックの期間や感染者数に関する多くの伝統的な予測モデルは、疫学的な数値ツール（SIR、SIRDモデル24-26,ゴンペルツ方程式27-32など）を用いて実施されてきたが、これらのツールが優れていたとしても、COVID-19の発生に対してこれらの伝統的なモデルが有用であるかどうかについては、いくつかの要因によって不確実性が生じる。
疾患やSARS-CoV-2自体に関する知識の不足（パンデミックの進展を類型化するための重要なパラメータなど。R値、感染率、死亡率など）。)
世界各地に蔓延し、気候や富、社会構造が異なるさまざまな国で、パンデミックを抑制するための戦略が大きく異なるという、非常に複雑な病気であること。
公式データの信頼性（誤ったデータや偏ったデータ、国によって感染者や死亡者の登録方法が異なるなど）。感染者数や死亡者数の公式数値は、血清検査で得られた数値と一致しない（カルロス3世保健研究所の研究など）33。
これらの要因は、従来の疫学モデルの妥当性と信頼性を阻害している。
さらに、知識不足に起因する不確実性があるため、パンデミックに関する予測は信頼性に欠けている。これらの重要な未解決問題には次のようなものがある。病気を克服した後の自然免疫はどのくらい持続するのか？自然免疫は病気を克服した後、どのくらい持続するのか、インフルエンザウイルスとの相互作用や相乗効果はあるのか？SARS-CoV-2は動物（家畜や野生動物）に飛び火し、これらの種が自然の貯蔵庫として機能するのか？人々は保健当局の方針に従うのか？有効なワクチンや薬はあるのか？これらのことはいつ起こるのであろうか？
しかし、基礎科学、物理学、確率論に基づいたエレガントな数学的アプローチがある。たとえば、コペルニクスの法則、デルタ・Tの議論、リンディの法則、終末の原則、カーターのカタストロフィーなどがあるが、これらはすべて、コビッド-19のパンデミックのように、大きな不確実性を特徴とする複雑な現象を予測することができる。これらの数学的手法は、複雑な問題（例：人類の寿命、絶滅までにあと何人の人間が生まれるか）や、より日常的な問題（例：60年代にベルリンの壁がいつ崩壊するか、ブロードウェイのミュージカルがいつ上演されるか、企業がどれくらいの期間で閉鎖されるかを予測する）を解明するために、科学者によってうまく適用されてきた。
これらのアプローチが驚くほど効果的な予測力を持っていることから、COVID-19がいつまで続くのか、全体で何人の人が感染し、何人が死亡するのか、また各国における感染者と死亡者の最終的な分布を推定するために適用した。このような効果的な数学的ツールを使った論文は、他にはない。
我々は2つの異なるアプローチを行う。
- 1. コペルニクス的原理に基づく確率的な計算により、以下のことを定義することができる。
- 1.1. デルタ-t 論法を用いたパンデミックの予測期間 34,35.
- 1.2. リンディの法則に基づく COVID-19 パンデミックの確率的な持続時間36.
- 2. 終末論に基づく確率論的計算により、以下の定義が可能となる。
- 2.1. 終末論による感染者と死者の総数 37,38
SARS-CoV-2は人類に挑戦してきた。我々のモデルが予測する最良のシナリオでは、COVID-19のパンデミックは、少なくとも2021年9月～10月（2022年1月～9月まで続く可能性が高い）まで我々を襲い、最低でも3,600万人の感染者（6,000万人の可能性が高い)140万人の死者（233万人の可能性が高い）が発生すると考えられる。
理論的背景
1. COVID-19パンデミックの予想期間
1.1. デルタ-t論によるCOVID-19パンデミックの総期間の推定
コペルニクス的原理(地球は宇宙の中で空間的にも時間的にも特権的な位置を占めていない)を様々な科学現象の研究に適用することで、科学に著しい進歩をもたらした34,35。任意の瞬間の任意のイベント（すなわち、現在のCOVID-19パンデミック）には、特権的な観測者や特別な瞬間は存在しないという事実により、持続時間のロバストな予測が可能になる。
我々が観察するイベントは、初期時間（tbegin）と最終時間（tend）の間でのみ測定可能であり、我々はそのようなイベントの非特権的な観察者であると仮定すると、現在の時間（tnow）は、イベントの継続時間中、任意の可能な瞬間に無作為に配置される。このようにして、比率r=(tnow – tbegin)/(tend – tnow)は,0から1の間の乱数となり、将来のあらゆる事象の確率を統計的に計算することができる（図1）。
図1 非特権イベントの時間分布確率
COVID-19パンデミックの将来の期間を、その関連確率とともに算出することができる。
1.2. リンディの法則に基づくCOVID-19パンデミックの期間
リンディの法則とは、ある現象の将来の寿命が現在の年齢に比例するというものである。その結果、リンディの効果が適用されると、生存期間が増えるごとに残りの寿命が長くなることになる。数学的には次のように表される。
ここで、Tは対象となるランダムな時間（すなわちCOVID-19パンデミックの寿命）で、（c≦t＜∞）の範囲の値をとり、pはリンディの割合で、正のパラメータ36である。
本モデルでは、過去に発生したSARS-CoV-1,H1N1,MERSのパンデミックに合わせて、3種類のp値を仮定してCOVID-19のパンデミックの寿命を推定している。)
1.3. ドゥームズデイ理論を用いたCOVID-19パンデミックによる世界の感染者数と死者数の推定
1998年、J.Leslieは、Carter(1983)やGott(1994)の先行研究に基づき、コペルニクスの原理を用いて、人類が完全に滅亡するまでに生まれてくる人の総数を計算した。
同じように、この原理を使ってCOVID-19による感染者と死者の総数を計算することを提案する。
これからCOVID-19に感染する人の総数をNとすると、それを未来の段階と呼び、COVID-19に現在までに感染した人の数をNとすると、それを現在の段階と呼ぶことにする。
コペルニクス的原理（COVID-19に関する特権や特別な瞬間はない）と、我々が特別でない場所にいることを仮定すると、それは以下のように守られる。
埋め込み画像
は、区間(0,1)に一様に分布している。つまり、特別ではない観察者の任意の時間に、fが区間(0.05,1)にある確率p=0.95があり、そして
これにより、SARS-CoV-2による感染者と死者の総数を推定することができる。
結果
1. COVID-19パンデミックの最も可能性の高い期間
1.1. デルタ-t法によるCOVID-19パンデミックの寿命の推定
中国当局は 2019年12月初旬にCOVID-19の症状が発症したヒト症例を確認した。そこで、COVID-19パンデミックのtbegin=2019年12月10日、tnow=2020年8月10日と推定している。式（1）でこれらの値と3つの異なる有意水準（p = 0.5; p = 0.7; p = 0.95）を用いて観測された予測値の概要は、表1に記載されている。
表1 コペルニクス的原理（デルタ-t論）に基づくCOVID-19パンデミックの推定期間
タイプIエラー。パンデミックがまだ残っているのに、予測ではパンデミックが終わったことになっている。第二種エラー。パンデミックが終了したにもかかわらず、パンデミックが継続していると判断した場合。
デルタ-tは、COVID-19のパンデミックが2021年後半から 2022年末の間に終了する可能性を想定している。より楽観的な設定を検討すると、タイプIエラー（実際にはパンデミックが発生していないのに、将来の日付を予測すること）が発生する可能性がある。COVID-19のパンデミックが2024年以降も続くという予測は、タイプ2のエラー（パンデミックがすでに終了しているにもかかわらず、パンデミックのある未来の日付を予測する）に陥る可能性がある。
1.2. リンディの法則によるCOVID-19の寿命の推定
表2は、t値を9ヶ月（tbegin=2019年12月10日、tnow=2020年8月10日)pを3種類の異なる値（リンディの割合）と仮定したCOVID-19のパンデミック期間の推定値である。
リンディの効果によると、COVID-19パンデミックは2021年9月から 2022年10月の間に終了するはずである。
表2 リンディの効果に基づくCOVID-19パンデミックの期間に関する予測
タイプIエラー。パンデミックがまだ残っているのに、予測はパンデミックが終了したことを示している。第2種エラー。パンデミックが終了したにもかかわらず、パンデミックが継続していると予測される。
2. 「終末論」を用いたCOVID-19パンデミックによる全世界の感染者数と死者数の推定
現在（2020年7月31日)全世界で17,064,064件の感染が確認されており（https://covid19.who.int)式（3）を用いると、SARS-CoV-2の最大感染者数は常に360,000,000人以下になるはずである（p=0.95）。
同様に、同時期の死亡者数が668,073人であることを考えると（https://covid19.who.int)死亡者数の推定値は常に1,400万人以下になるはずである（p = 0.95）。
結果は表3に示されている。
表3 ドゥームズデイの議論に基づくCOVID-19による感染者数と死者数の予測
(FECHAデータに基づく計算：感染者数18,000,000人、死者数700,000人） タイプIエラー：予測が、実際に発生するよりも少ない感染者数と死者数を示していること。第二種の過誤：予測は、発生するよりも多くの感染者と死者の数を示す。
考察
ニュートンは、『プリンキピア・マトリクス』の中で、現在の状況と瞬間的な変化の割合を知ることで、未来を正確に予測することができると考えた39。しかし、ゲーデルの不完全性定理40が、基本的な算術をモデル化できるあらゆる形式的な公理系に固有の限界があることを示して以来、科学がニュートンの予測を正確に行うには一定の限界があることが明らかになった41。
我々が生きている地質学的瞬間は、地球規模での絶滅率の上昇、生物種の均質化、日和見種の増殖、害虫と雑草の生態などを特徴としており、これらすべてが予測不可能な創発的新奇性の発生に有利に働いている（Myers and Knoll 2001とWoodruff 2001によるレビュー）42,43。COVID-19のパンデミックは、予測不可能な創発的新奇性の非常に良い例であり、その到来を予測することは特に困難であった。例えば、世紀の変わり目に、オックスフォード大学出版局は、当時の最も優秀な30人の頭脳が未来にもたらすだろうと考えたことを一冊の本にまとめた。パンデミックが世界に壊滅的な打撃を与えると予測した人はいなかった44。
しかし、SARS-CoV-2の本当の大きさが明らかになると、何百人もの科学者が、時間的な持続期間、感染者数、死者数の両方を予測するためのモデリングを始めた。疫学には重要な理論体系があり、現在までにさまざまな予測モデルが使用されている45-55。
これらのCOVID-19疫学モデルにはいくつかの問題がある。患者数、感染率、接触パラメータ、免疫力などの重要な側面に関する情報が不足しているために複雑な仮定をしていること、モデルの不確実性をどのように表示しているか、どのデータを使用しているか、一般的なものなのか、特定の環境に焦点を当てたものなのか、など56-59,これらの仮定が予測の精度を妨げている。グローバルな規模の予測モデルは、たとえ国レベルであっても、ローカルな規模よりも不正確である59。
HolmdhalとBuckeeによると、特に次の3つのモデルパラメータがCOVID-19の将来を予測する能力を制限している。防御免疫の程度、無症候性の人や症状の少ない人の感染と免疫の程度、感受性の高い人と感染者の接触率の測定56。
従来のモデルとは異なり、我々が提案する仮定ははるかに単純である。デルタ-t argumentやLindy’s lawに基づくモデルでは、現在までのパンデミックの期間が必要であり、Doomsday argumentモデルでは、感染者数と死者数が必要であるため、世界規模での予測が容易になる。しかし、これらのモデルが生み出す予測は正しいのであろうか？
デルタ・T論法に基づくモデルとリンディの法則に基づくモデルは、COVID-19のパンデミックは少なくとも2021年9月～10月まで続き、おそらく2022年の同時期まで続くと予測している。終末論に基づくモデルでは、最低でも感染者数3,600万人、死者数140万人と予測しているが、最も可能性の高い数字は、感染者数6,000万人、死者数233万人となる。注目すべきは、これら3つの異なるモデルが、お互いに矛盾のない予測をしていることである。
この意味で、デルタ-t論法やリンディの効果を用いたパンデミックの予想期間は、伝統的なモデルを用いて疫学者が予測するものに比べて合理的なものになっている。同様に、Doomsdayモデルを用いた感染者数と死者数の予測も合理的である。現在までのところ、様々なモデルがCOVID-19パンデミックの期間を幅広く予測している。
しかし、コペルニクスの原理に基づくこれらのモデルの精度に大きな影響を与えているのが、予測不可能で可能性が極めて低い偶発的な出来事、すなわちブラックスワン効果60である（デルタ・t論または終末論）。SARS-CoV-2の感染力や致死率を大きく変化させる突然変異の出現、大量投与可能なワクチンの開発、世界中で使用される有効な薬剤の発見など、偶発的な出来事が予測を大きく変える可能性がある。結局のところ、コペルニクス的原理に基づく予測は、「研究対象となる現象も観察者も、空間や時間の中で特別な位置を占めていない」場合にのみ、真実となるのである。また、COVID-19パンデミックの進展には非常に多くの要因が介在しており、科学的に定義できない予測である可能性もある。
理論的なレベルでは、主に哲学や心理学の分野から、Doomsdayとデルタ-tの議論に対する反論がなされている61-63。
しかし、60年代に予測されたベルリンの壁の崩壊、70年代のソ連の崩壊、ブロードウェイ・ミュージカルの長寿など、全く異なる事象の予測に成功したことは、SARS-CoV-2に対する信頼できる医薬品の解決策がすぐに見つからなかった場合に起こりうることを理解する上で、今回の研究に関連性を与えている。