A 50-Year Quest: My Personal Journey with the Second Law of Thermodynamics
しかし、もっと重要なのは、「ルール30」で見えてきたものを吸収するための概念的な枠組みが、私にはなかったということである。「複雑な振る舞いをするためには、単純なルールと単純な初期条件しか必要ない」という直感的な衝撃を、私はまだ受け止め切れていなかったのである。
しかし、セル・オートマトンが何を作ることができるのか、もっと完全に把握することはできないだろうか。私は形式言語理論に目を向け、「可能な状態の文法」を研究し始めたのである。そう、「Wolfram Language」の「Graph」よりも四半世紀も前に、複雑な有限状態マシンを構築することは容易ではなかったのだ。
しかし、1983年11月には、「計算過程としての自己組織化」について書いていたのである。
私の論文の冒頭では、再び「第二法則」を取り上げたが、今度は「計算理論こそが非平衡現象や自己組織化現象を特徴づけることができるのではないか」という考えを述べた。
統計力学における平衡の概念から、ある系が無限時間後にどうなるかを問うことは自然なことである。しかし、計算理論によれば、この問いに対する答えは、計算不可能、あるいは決定不可能である可能性がある。私はこのことを論文で述べたが、最後に、究極的にはるかに豊かな有限の場合について述べ、（NP完全性を参照しながら）セル・オートマトンの進化には計算上の近道がないのが普通かもしれないことを示唆した。そして、むしろ先見の明を持って、「（この現象は）物理系に広く見られると推測できる」ので、「その進化の結果は予測できず、事実上、直接シミュレーションや観察によってのみ発見できる」と発言したのである。
そのとき、すべてが理解できた。私がこれまで見てきたセル・オートマトンの複雑さは、ランダムな初期条件による「自己組織化」や「フィルタリング」の結果ではなかったのである。むしろ、セル・オートマトンの進化の過程で、明らかに「内発的に生成」された例だったのである。これこそ、計算機的還元不能性である。状態のアンサンブルや統計力学について考える必要はない。万能コンピュータの精緻なプログラミングを考える必要もない。たった1つの黒いセルから、「ルール30」は膨大な複雑性を生み出し、明確な計算不可能性を示す可能性が非常に高いのだ。
なぜ、このようなことが起こりうるということに今まで気づかなかったのだろう。結局、私は2年以上前にルール30の小さな絵さえ生み出していたのである。しかし、当時の私には、それに注目させるような概念的な枠組みがなかったのである。そして、そのような小さな絵には、私が描いたルール30の大きな絵のような「無からの複雑さ」の特徴がなかったのである。
しかし、ルール30の現象を理解したことで、2色以上の色を使った「より美的な」「合法的な」ルールでも同じことが起こることを知った。そして、3色でもルールの空間はかなり大きくなるが、そこでの現象例は簡単に生み出せるようになった。
私は、セルオートマトンが優れた乱数生成器として機能すること（Wolfram Languageでは25年以上前からルール30をデフォルトとして使っている）と、その進化によって効果的に物事を暗号化できることの両方に気づいていた。これは、後に私が第二法則を、効果的に不可逆性を生み出すための初期条件の「暗号化」であると説明するのと同じことである。
1984年当時、セル・オートマトンのような単純で「科学的」なものが暗号化に役立つというのは驚くべき主張だった。なぜなら、当時の実用的な暗号化は、基本的に常に、少なくとも恣意的で複雑に見える工学的解決策によって行われており、その安全性は、しばしば軍事機密や商業機密とみなされる詳細や説明に依存していたからだ。
そして最終的には、どうしても解明できないと判断した。そして基本的にまだ解明されていない（実際不可能なのかもしれない）。しかし、セル・オートマトンで公開鍵暗号を作る方法はわからないにしても、初期データを暗号化して有効なランダム性に変えるというアイデアは、私が今理解している熱力学の計算論的基礎の全体像の中で、極めて重要な部分だと思う。
1984年当時、「カオス理論」は、システムの初期条件において、より高次の桁が徐々に「掘り起こされる」ことによって、「ランダム性」が「決定論的に生じる」というもので、新しいアイデアではないにしても、ホットなものの一つであった。しかし、「ルール30」を見た限りでは、この「決定論的カオス」と呼ばれる現象は、せいぜい余興に過ぎず、物理システムに見られるほとんどのランダムネスにつながる主要な効果ではないと私には思えたのである。
ファインマンと私は何年も前からランダムネスについてよく話していた。最近では、量子コンピュータの最小限の例として「量子ランダムネスチップ」を作るというチャレンジに関連していた。ファインマンは最初、ルール30が本当に「ランダムネスを生み出す」ことができるとは思っておらず、それを「クラック」する方法があるに違いないと思っていた。彼は、手作業とコンピュータの両方で、特に統計力学の手法を使って、規則性と不規則性の境界の傾きを計算しようとした。
しかし、最後は「OK、Wolfram、君は何かを掴んでいると思う」と言って、諦めてくれた。
そしてそれは1995年5月、私が「第二法則」について書く作業をしていた時に遡る。私のファイルシステムには、当時私が37R則について、初期条件を変えて、できる限り長く実験を行い、その単純でもランダムでもない、とても第二法則とは言えない奇妙な振る舞いが何とか「解決」されないかどうか調べたことが記録されているのだ。
それまで四半世紀近く、私は基本的に「第二法則」を信じていた。確かに、自重システムのような例外があるかもしれないとは思っていた。しかし、私は、病的な例外はあるにせよ、第二法則は極めて普遍的なものであり、その起源は計算機による既約性によって今でも理解できると考えていた。
しかし、この37Rを見ると、突然のことに違和感を覚えた。A New Kind of Science」の中で、私はルール37Rを長く書いた（ここでは構造を強調するために色をつけている）。
私は時々、このことを人に話していた。たいてい同じような反応だった。「第二法則は100年前に理解されたのでは？これ以上何を言うんだ”と。そこで私が説明すると、「ああ、そうなんだ、面白いね」ということになるんだ。しかし、なぜかいつも「第二法則は古い」と思われているようで、何をやっても「iに点を、tに線を入れる」だけになってしまうのである。そして結局、「第二法則」のプロジェクトは、私がずっとやりたかったことであるにもかかわらず、私の活動リストに載ることはなかった。
時折、私は物理学の基礎理論を見つけるためのアイデアを書いていた。そして、暗黙のうちに、第二法則の基礎と一般化について私が培ってきた理解に頼ることになるのだ。例えば2015年、一般相対性理論100周年を記念して、私は時空が本当は”下 “のようなものかもしれないと書いた。
また、時空の連続性は、分子力学から流体力学が生まれるように、一般化された第二法則の作用によって、離散的な基礎構造から生まれる可能性がある。
物理学プロジェクトの驚くべき、そして劇的な意義の一つは、一般相対性理論と量子力学は、ある意味で同じ基本的な現象の現れであり、それぞれ物理空間と分岐空間で展開される、ということである。しかし、この現象はいったい何なのだろうか？
そこで明らかになったのは、結局のところ、根本的な計算の不可逆性と、観測者としての私たちの本質との相互作用に関わる問題だということである。この概念は、私が「第二法則」について考えていたことに端を発している。1984年当時から私は、「第二法則」とは、計算不可能な振る舞いを「解読」できないことを意味すると理解していたから。
私は、『新しい種類の科学』の第10章で「知覚と解析のプロセス」を取り上げ、自然界やその他の場所に存在するあらゆるプロセスと同様に、このようなプロセスは基本的に計算可能であるとみなすべきであることを認識していた。しかし、私は、知覚と解析のプロセスは、私たちが研究している実際のプロセスから切り離された、ある意味で「外」にあるものだと考えていた。しかし、物理学プロジェクトでは、宇宙全体を研究しているわけだから、必然的に私たち観測者もシステムの「内側」にいることになる。
そして、一般相対性理論や量子力学のようなものの出現は、観測者としての私たちのある種の特徴に依存していることが明らかになったのである。「異星人の観測者」は、全く異なる物理法則を知覚するかもしれない（あるいは、体系的な法則が全くないのかもしれない）。しかし、私たちのように計算機的な制約があり、時間的に永続的であると信じている「観測者」にとっては、一般相対性理論や量子力学は必然的なものなのである。
したがって、ある意味で、一般相対性理論や量子力学は、観測者としての私たちの性質から「抽象的に導出可能」なものとなっているのだ。そして驚くべきは、あるレベルでは第二法則と全く同じ話になっていることである。一般相対性理論、量子力学、統計力学という3つの偉大な物理学の基礎理論がすべて、計算の不可逆性と観測者としての私たちの性質の相互作用という、実質的に同じ核心的現象の現れであるということは、私にとって驚くべき、そして深く美しい科学の統一なのである。
1970年代当時、私はこのようなことを全く予見していなかった。第二法則に関する議論と、物理学の基礎理論へのアプローチを『新しい科学』の一章にまとめたときでさえ、これらがどれほど深く結びついているかは分からなかった。科学技術のさまざまな断片を通過しなければならない、長く曲がりくねった道だったのである。しかし、12歳のときに初めてこの本の表紙を見たときに感じた「これは何か根源的なものだ」という思いは、最終的には私の想像をはるかに超えるスケールで展開されることになったのである。
ディスカバリークラス4
第二法則に関する私の研究の大部分は、ランダム性の起源と「第二法則の典型的な振る舞い」との関係を理解することと関係している。それは、37R則のような驚きや、より一般的にはクラス4の振る舞いの大規模版、あるいは私が「メカノイド相」と呼び始めているものに関係するものである。
私が初めてクラス4の振る舞いを確認したのは、1983年の初め、1次元セル・オートマトンの系統的な研究の一環で、「コード20」k= 2,r= 2の全体論的規則が最初の明確な例であった。
このルールで検索すると、すぐにさまざまな局地的な構造が確認できた。
当時、私が関心を抱いていたクラス4セルオートマトンの最も重要な特徴は、計算万能である可能性が高いこと、そしてそのことが証明できる可能性があることだった。しかし、私は当初から、セルオートマトンの「熱力学」がどのようなものだろうかということにも関心を持っていた。ランダムな初期条件からスタートさせた場合、そのパターンは消滅してしまうのか、それとも局所的な構造の配列が持続し、もしかしたら成長していくのか？
セル・オートマトンや局所規則を持つ系の多くでは、少なくともその統計的性質は無限大の極限に達したときに何らかの形で安定化すると予想される。しかし、クラス4の系では、その無限大の極限は「存在」するのだろうか、それとも、サイズを徐々に大きくしていくと、得られる結果は永遠に飛び回り続けるのだろうか、おそらく、だんだんエキゾチックな構造をサンプリングすることに成功するようになるのだろうか、と私は尋ねた。
1983年9月に書いた論文では、十分に大きなクラス4のセル・オートマトンでは、最終的に自己複製構造を獲得し、それが「すべてを引き継ぐ」ことになるというアイデアについて述べている。
セル・オートマトンに「生物学的な」自己再生産を見ることができるかもしれないという考えには、長い歴史がある。実際、セル・オートマトンが発明された（そしてその名前の由来となった）複数の方法のうちの1つは、フォン・ノイマンが1952年に行った、自己再生が可能な複雑な構成を持つセル・オートマトンの構築に取り組んだことであった。
しかし、セル・オートマトンにおいて、自己再生する構造が「自然に発生」することはあり得るのだろうか？フォン・ノイマンは、ルール30のような直感的な利点がなければ、自己再生産のようなものは、例えば生物学でそうであるように、非常に複雑な設定が必要であると仮定した。しかし、ルール30やクラス4のセル・オートマトンを見ていると、非常に単純なルールでも、自己増殖のような現象を示すかなり単純な構成が存在することは、それほどあり得ないことではないように思えてきたのである。
しかし、ランダムな初期条件下でこのような構成を「自然発生」させるには、指数関数的に多くの細胞を持つシステムが必要かもしれない。そして、初期の地球の海には、自己複製する生命体のようなものが発生するのに十分な量の分子しかなかったのではないか、と私は考えた。
1983年当時、私はすでにクラス4のセル・オートマトンの構造を探索するためのかなり効率的なコードを持っていた。しかし、一度に何日も実行しても、純粋に周期的な構造（動くこともある）以上の複雑な構造は見つからなかった。そして1985年3月、「サイエンティフィック・アメリカン」誌に私の研究を紹介する記事を掲載した後、私は「面白い構造」を見つけようと呼びかけた。
たまたま、私が「公募」をする直前に、知り合いの教授と一緒に仕事をしていたプリンストン大学の学生が、「k=2、r=3の全称コード88則」を見つけたとグライダー銃を送ってきてくれたのである。
しかし、当時はコンピュータのディスプレイが大きくても、次のような動作が見える程度だった。
これが「普通の4級ルール」であることに納得がいかなかったのだが、ディスプレイの解像度が上がった今なら納得がいくようだ。
しかし、私が「明らかにクラス4」と考えるルールには、グライダー砲やその他のエキゾチックな構造はなかった。そして、「A New Kind of Science」を書き始めてから、この問題に立ち戻ることになったのである。しかし、1991年12月31日の夜、1983年と全く同じコードを使い、より高速なコンピュータで計算したところ、それが見つかったのである。普通のクラス4規則（k= 3,r= 1 code 1329)に、いくつかの局在構造を見つけた後、（最も明白な「グライダー銃」的な方法ではないが）無限に成長するものが1つあったのである。
しかし、それだけではない。計算の世界には常に驚きがあるという原則を体現しているように、もう少し探索すると、さらに別の予期せぬ構造が見つかったのである。
クラス4のルールは、数年おきに何か別のものが出てくる。1994年には、ルール110にたくさんの仕事があった。1995年には、ルール37Rの驚きがあった。1998年には、私のグラフベースの空間モデルに引き継ぐことができる粒子の類型を見つける努力をした。
2002年に『A New Kind of Science』が出版された後，私たちは毎年恒例のWolframサマースクール（当初はNKSサマースクールと呼んでいた）を開始し、2010年には高校生向けのサマーキャンプを開催した。ある年には、学生たちに「好きなセル・オートマトン」を選んでもらうことにした。多くの場合，クラス4が選ばれた。
そして時折、ある特定のクラス4ルールの世界を探求するプロジェクトが行われることもあった。しかし、そのような具体的な内容や、計算の普遍性についての記述以上に、クラス4について何が言えるのかが明確でなかった。
1984年、私が制作したセル・オートマトンの絵葉書のシリーズに、クラス4のものがいくつかあった。
当時でも、これらの画像に対する一般的な反応は、「有機的」、つまり生物が作り出すようなものに見えるというものだった。それから10年後、「A New Kind of Science」のために、私は「有機的形態」をかなり研究し、生物がどのようにして全体の形や表面のパターンを獲得するのかを理解しようとした。しかし、そのほとんどはクラス4の行動についての話にはならなかった。
1980年代初頭から、私は分子コンピューティングに、そして分子のレベルでどのように計算を行うことができるかに興味を抱いていた。私は「A New Kind of Science」（特に「計算等価性原理」）の発見により、かなり単純な分子の集まりでも「任意の計算」をさせたり、多かれ少なかれ任意の構造（生物学におけるタンパク質合成構造全体よりも一般的で合理的な方法）を構築することが可能であるはずだと確信した。そして何年もの間、私はこの分野で実用的な仕事をしようと考えることもあった。しかし、周辺技術がまだ整っていないように感じられた。だから、私は決して飛び込まなかったのである。
一方、私は以前から、多方向システムと化学反応の可能な経路のパターンとの基本的な対応関係を理解していた。そして、2020年に物理学プロジェクトが発表され、一般的なマルチコンピューティングパラダイムが開発されるようになってからは、すぐに分子コンピューティングを応用の可能性として考えていた。しかし、分子の「振り付け」とはどのようなものなのだろうか？例えば、同じ分子の異なる相互作用の間には、どのような因果関係があるのだろうか？液相反応などを扱う通常の化学では、そのようなことはあまり重要視されない。
しかし、分子生物学では、それが実は重要なのではないかと思うようになった。「A New Kind of Science」が出版されてから20年が経つが、分子生物学では、物事が極めて「組織的」に行われていることが明らかになっていた。分子生物学では、液体のように分子がランダムに動き回るのではない。ある「出来事」から別の「出来事」へと、分子が注意深く流され、能動的に運ばれているのだ。
クラス3のセル・オートマトンは、液体のようなものの「メタモデル」に適しているようで、第二法則に似た振る舞いを容易に与えることができる。しかし、分子生物学にありそうな状況はどうだろうか？最近になってようやく考え始めたことだが、これはクラス4セルオートマトンが貢献できるところだと思う。私は、クラス4系の「bulk limt」（バルク限界）を「 mechanoidal phase」（メカノイダル相）と呼ぶようになった。普通の第二法則が通用しないようなところである。
40年前、私が「第二法則に反して」どのように構造が発生するかを理解しようとしていたとき、私はまだ計算による還元不能性について知りもしなかった。しかし現在では、特にマルチコンピューティングパラダイムが発展し、知覚される全体的な法則を定義する上で観測者の特性の重要性が認識されるようになったことで、私たちは大きく前進している。計算機的還元不能性の必然的な特徴として、科学には常に無限の新しい挑戦があり、計算機的還元可能性の新しい断片が発見されることになるのだ。つまり、メカノイド相を理解することが課題なのである。そして、私たちが開発したツールやアイデアを駆使すれば、通常の第二法則の場合よりも、そのプロセスが進むのではないかと期待している。
50年の旅路の果てに
私が第二法則を理解するための探求を始めてから50年余りが経った。まだまだ解明すべきことはあるが、私の人生の中で最も長く続いた知的な「未完の仕事」に一定の区切りをつけることができた今、とても満足している。私が人生をかけて築き上げた科学技術の塔に大いに依存し、時にはそれを後押しするような、興味深い旅だった。その結果、こうはならなかったかもしれないことがたくさんある。そして最終的には、私のこれまでの人生の大半を占める、長期にわたる知的な粘り強さの物語となったのである。
長い間、私はかなり広範なアーカイブを（可能な限り自動的に）保存していた。そして今、これらのアーカイブによって、第二法則にまつわる私の旅を、ほとんど前例のないほど詳細に再構築することができる。何年もかけて徐々に知的枠組みが形成され、時にはほんの数日で次のステップに進めるような発見や気づきがあることがわかる。そこには、計算機と本質的に哲学的な方法論が、時折数学を交えて、不思議なほど織り込まれているのだ。
一般的な直感が、具体的な結果よりもずっと先を行っていることもある。しかし、それ以上に多いのは、新しい直感を生み出すきっかけとなるような、計算機による意外な発見があることである。また、少し恥ずかしいことだが、正しい知的枠組みや直感を持たなかったために、最初は全く解釈できなかったり、気づかなかったりしたものを、コンピュータ実験で生み出すことがよくある。
結局のところ、このプロセスには計算不可能な雰囲気が漂っている。1990年代にはすでに、私はかなり距離を置いて物事を考えていたし、自分が解明したことについて少し書いたりもしていた。しかし、第二法則の知的ストーリーを完成させ、その解説を書き残すということは、小さな未完成プロジェクトの1つとして、何年もそこにぶら下がっていたのである。しかし、ちょうど2年前に物理学プロジェクトが登場したことで、新しいアイデアが次々と生まれ、私自身は、長い間放置されていたものにも、実は終止符を打つことができるという感覚を持つことができた。
そして、12歳の時に始めた探求に、50年の時を経て、新しい道具と新しいアイデアで戻ってきたというわけである。第二法則の不思議さと魔法は、まだそこにある。しかし今では、第二法則をより広い文脈でとらえることができるようになり、熱力学や熱に関する法則というだけでなく、非常に一般的な計算現象への窓であることに気づいた。このどれもが、私が12歳の時には知り得なかったことである。しかし、私が数年前に惹かれたこの探求は、どういうわけか、私の人生において辿ってきた知的発展の弧と深く合致していることが判明した。そして、それは間違いなく、偶然の一致ではない。
しかし、今はただ、第二法則を理解するための探求が私の人生の指針の一つであったこと、そして、私の探求がこれほど広く深いものの一部であったことに感謝しているのだ。